Massimo Trasferimento di Potenza

3 luglio 2016, 26 gennaio 2017

 

L’energia non è un osservabile.

Ne segue che la Potenza non è un osservabile.

Questa affermazioni ha delle implicazioni molto importanti  in particolare per quanto riguarda la stima del rendimento delle trombe.

 

Il teorema del massimo trasferimento di potenza è di applicazione generale: vale per gli amplificatori (a valvole e a stato solido) ma anche per le sorgenti acustiche, gli altoparlanti, le trombe, ecc. Gli amplificatori a valvole sono dotati di trasformatore di uscita proprio per consentire il massimo trasferimento di potenza al carico.

La potenza è il lavoro svolto da una macchina (attuatore) nell’unità di tempo. Dato che compiere lavoro ha un costo si desidera che questo lavoro non vada sprecato ma che venga erogato sul carico in misura massima. La capacità di un attuatore di riversare la potenza sul carico viene espressa anche dal rendimento:

 

                          Potenza_attiva_ottenuta

Rendimento = ---------------------------------------

                          Potenza_attiva_impiegata

 

Lo scopo di un attuatore quindi è trasferire la massima potenza al carico. Ci si domanda: cosa si deve fare per ottenere il massimo trasferimento di potenza? A questo risponde il Teorema dl Massimo Trasferimento di Potenza.

 

Il massimo trasferimento di potenza si ottiene quando l’impedenza interna del generatore è uguale alla impedenza del carico

 

Quando l’impedenza interna del generatore è uguale all’impedenza del carico si dice che generatore e carico sono “adattati”. L’operazione che conduce all’adattamento si chiama “rifasamento”. Il rifasamento, nel caso di carichi reattivi, può avvenire solo in corrispondenza di alcune frequenza (dove la parte reattiva si annulla).

 

Dato che qualsiasi dispositivo elettroacustico, acustico e meccanico può essere rappresentati con circuiti elettrici tramite le analogie, basta dimostrare il teorema in ambito elettrico per considerarlo dimostrato anche per l’elettroacustica, l’acustica e la meccanica (vds isomorfismi).

 

Definizione di bipolo adinamico: un dipolo adinamico è in dispositivo composto da resistori, generatori       dipendenti o indipendenti e giratori.

 

Teorema di Thévenin, ogni bipolo adinamico può essere rappresentato con la serie tra un resistore (detto resistore equivalente di Thévenin, Rth) e un generatore di tensione indipendente (generatore equivalente di Thévenin, Eth). Questo teorema viene poi generalizzato a qualsiasi bipolo.

 

Possiamo allora determinare la massima potenza erogabile dal bipolo sul carico. Si dimostra che ciò avviene quando il bipolo è chiuso su un resistore R il cui valore di resistenza è uguale alla Rth.

 

 

Circuito equivalente di  Thévenin.

I morsetti H e K sono i terminali del bipolo.

 

Il massimo trasferimento di potenza avviene quando R=Rth

 

Con riferimento alla figura precedente, chiudiamo i morsetti di un generatore reale di tensione su un generico resistore R.

 

Sia quindi 

P = VI = R i^2

e 

i = \frac{E_{th}}{R+R_{th}}

Sostituendo si ottiene la relazione tra la potenza erogata dal circuito e la resistenza applicata: 

P = \frac{R \ E_{th}^2}{(R + R_{th})^2}

Sviluppando si ottiene 

P = \frac{E_{th}^2 }{ \frac{R^2 + 2 R R_{th} + R_{th}^2}{R} }

La potenza è massima quando il denominatore è minimo. Annulliamo la derivata del denominatore: 

\frac{d_{denom} P}{dR} = \frac{R(2R + 2R_{th}) - (R^2 + 2 R R_{th} + R_{th}^2)}{R^2} =

Una quantità definita positiva è minima quando è nulla

=  \frac{R^2 - R_{th}^2}{R^2} = 0 \rightarrow R = R_{th}

Sostituendo nella espressione di P ne segue che la potenza massima erogata sarà:

P_{max} = \frac{E_{th}^2}{4 R_{th}}

In pratica ai capi del carico si ottiene la metà della tensione disponibile a vuoto.

 

Il teorema si estende ai circuiti lineari in regime periodico sinusoidale (circuiti RLC). In tal caso le parti reali devono essere uguali e le reattanze si deve annullare. Questo risultato si otterrà, se possibile, a determinate frequenza. Quando le resistenze sono uguali e le reattanze nulle i dipoli reattivi scambiano la potenza massima tra di loro (la potenza reattiva del generatore risulta quindi nulla). Per questo il rendimento è definito come rapporto tra le potenze attive (le parti reali della potenza utilizzata ed ottenuta).

 

Per un amplificatore a valvole il meccanismo è noto: una valvola presenta una impedenza di uscita “alta”, l’altoparlante presenta una impedenza di ingresso “bassa”. Interponendo un trasformatore viene ridotta la tensione sul carico ma viene aumentata la corrente disponibile e si realizza un miglior trasferimento di potenza.

Il trasformatore è un elemento passivo: la potenza che esce dal secondario è (idealmente) uguale alla potenza che entra dal primario. I trasformatori sono tra le “macchine” più efficienti che si conoscano (con rendimenti anche superiori al 99%).

 

Il caso degli amplificatori a stato solido è diverso. Un ampli a stato solido presenta una impedenza interna più bassa dell’altoparlante. Nel caso dell’amplificatore a stato solido non si desidera ottenere il massimo trasferimento di potenza ma il massimo trasferimento di tensione. In sostanza l’amplificatore si deve comportare come un generatore ideale di tensione in modo che la tensione applicata ai morsetti dell’altoparlante sia indipendente dalla sua impedenza. La potenza erogata dall’amplificatore (frequenza per frequenza) è determinata dall’impedenza del carico. Infatti, per convenzione, i diffusori acustici sono progettati per produrre SPL costante per tensione di ingresso costante.

Questo è uno dei motivi per cui la qualità della riproduzione sonora dipende dal fattore di smorzamento dell’amplificatore e (in misura più o meno importante) dall’impedenza dei cavi di collegamento tra ampli e diffusori.

 

Una sorgente acustica trasferisce la massima potenza acustica al carico (aria) quando la sua impedenza di radiazione è uguale alla impedenza di radiazione dell’aria. Vale la pena ricordare che l’impedenza acustica è funzione delle tre coordinate. Di solito viene considerata l’impedenza di radiazione lungo l’asse di propagazione e questo porta ad errori nella valutazione del rendimento.

 

L’adattamento della impedenza interna del generatore con l’impedenza del carico si realizza:

 

-          regolando la resistenza del generatore o del carico (in sostanza scegliendo il carico più idoneo)

-          interponendo un trasformatore tra generatore e carico (amplificatori a valvole)

-          interponendo una linea di trasmissione a un quarto di lunghezza d’onda (linee di trasmissione, trombe)  tra generatore e carico

 

Le trombe si rappresentano con delle linee di trasmissione a sezione variabile. Una tromba realizza un adattamento con il carico che è massimo a certe frequenze lungo certe direzioni. In generale si osservano riflessioni tra gola e bocca e la potenza acustica arriva all’esterno della bocca “un poco alla volta” in tempi diversi. Per questo motivo le trombe non sono dispositivi a fase minima (con tutto quello che ne consegue). 

 

L’essenza del funzionamento di una tromba è descritto dalla espressione 4.20, a pag 109, di  “Acoustics” di Beranek.

 

Nota:

La Teoria Generalizzata delle Reti (vds De Soer) prevede due tipi di generatori:

 

-          generatore di flusso (dipendente o indipendente)

-          generatori di caduta  (dipendente o indipendente).

 

In elettronica questi sono analoghi ai generatori di tensione e corrente, in meccanica sono analoghi ai generatori di forza e di velocità. Si noti che caduta e flusso sono degli osservabili. La potenza (prodotto del flusso per la caduta) non è un osservabile e questo ha una implicazione importante: non esiste un generatore di potenza. Questo non significa che è possibile erogare su un carico una potenza indipendente dal carico stesso.