Potenza Acustica, Efficienza, Sensibilità degli Altoparlanti Dinamici

di Mario Bon

 

 

Glossario essenziale: da “Altoparlante” a  “Xmax”

Parte Prima:               La potenza (meccanica, acustica, elettrica, ecc.)

Parte Seconda:           Efficienza dell’ altoparlante dinamico

Parte Terza:                La misura della sensibilità

Parte Quarta:              Altoparlante Equivalente

Parte Quinta:              Valutazione del Rendimento di un generico sistema di altoparlanti.

Appendici:                  #1  #2  #3

 

 

 

Parte Seconda: Efficienza dell’ altoparlante (dinamico)

Profondamente rivisto 1  dicembre 2015 – ultima revisione  28/03/2018

 

Rendimento e Sensibilità

La sfera pulsante ideale

Rendimento secondo Beranek

Rendimento dell’altoparlante dinamico in letteratura

Calcolo del rendimento (con meno semplificazioni)

Calcolo del rendimento meccanico e del rendimento acustico

Calcolo del rendimento (alternativo)

 

Prendiamo un woofer in cassa chiusa. Supponiamo che l’SPL prodotto con 1 Watt a 60 Hz sia di 90 dB e scenda a 82 dB a 30 Hz. Quale è l’efficienza di questo woofer?

Nella regione dove DI=0dB avremo, a 60 Hz, circa 1.2% e, a 30 Hz circa 0.19%. L’efficienza è 1.2% o 0.19%? Se consideriamo che abbiamo alimentato l’altoparlante con 2 Watt e abbiamo ottenuto 0.0139 Watt acustici, il rendimento vale 0.695% (poco più della metà di 1.2%).

Facciamo un altro esempio. Un altoparlante viene alimentato con un watt di rumore rosa con banda passante di 3 decadi. La potenza acustica prodotta, per motivi che non indaghiamo, è rigorosamente limitata a una decade e vale 0.18 Watt acustici. Quanto vale il rendimento?  Se la potenza acustica fosse spalmata su 3 decadi il rendimento sarebbe 0.18/1 = 18% ma siccome abbiamo immesso potenza su 3 decadi e ne abbiamo ottenuta su una sola decade, il rendimento è un terzo di quanto calcolato ovvero 6%.

Se avessimo immesso rumore rosa su 5 decadi il rendimento sarebbe stato del 3.6%.

O ci si mette d’accordo su come calcolare il rendimento o tanto vale tirare a indovinare.

 

Rendimento e Sensibilità

 

In inglese efficienza e rendimento si traducono allo stesso modo con “efficiency”. In italiano sono sinonimi,

Il generale l’efficienza o Rendimento, di un qualsiasi processo che produca lavoro, è il rapporto tra la potenza_attiva_ottenuta e la potenza_attiva_consumata per ottenerla. Anche Beranek si attiene a questa definizione (Acoustic Measurements – pag 672) tranne poi sostituire la potenza elettrica con la “available power” (potenza disponibile) e ipotizzare, per la misura, la disponibilità di un generatore di potenza costante. Per calcolare il rendimento è essenziale conoscere con precisione la potenza attiva utilizzata e, nel caso di un altoparlante, basta misurare l’impedenza elettrica (dell’altoparlante) e misurare la tensione presente ai suoi capi durante la misura. Se poi, per la misura, si utilizza un amplificatore con fattore di smorzamento alto (>100) e cavi di sezione adeguata, la cosa è più semplice perché si può fare a meno di misurare la tensione ai capi dell’altoparlante (che risulterà praticamente costante). Di solito il rendimento si esprime in parti per cento ed è sempre minore del 100%. Se il rendimento non è espresso in % allora vale meno di uno.

 

Per il Secondo Principio della Termodinamica nessun dispositivo (attivo o passivo) può avere un rendimento maggiore o uguale al 100% (creerebbe energia dal nulla).

 

Le “macchine” con il rendimento più alto sono i trasformatori elettrici che sono dispositivi passivi senza parti in movimento (rendimento anche superiore 99%). La macchina termica con il rendimento più elevato è la macchina di Carnot. Per i dettagli si veda un buon testo di termodinamica (per es. “Termodinamica” scritto da Enrico Fermi – edizioni Bompiani). Anche una tromba è un dispositivo passivo senza parti in movimento e infatti il suo rendimento è molto elevato: almeno nel range di funzionamento, tutta la potenza acustica immessa nella gola esce dalla bocca (anche se non tutta assieme….). Dalla bocca della tromba non può uscire una quantità di potenza acustica maggiore di quella che è entrata nella gola.

 

Il rendimento e la sensibilità sono due cose diverse e non devono essere confuse.

 

La sensibilità di un sistema di altoparlanti è il livello SPL che questo produce in campo libero, sull’asse privilegiato di radiazione, misurato in campo lontano e riferito ad un metro di distanza, quando si applichi, al suo ingresso, uno stimolo di tensione pari 2.83 Vrms.

La sensibilità quindi è riferita alla tensione efficace in ingresso e non alla potenza elettrica assorbita dal sistema (la sensibilità è indipendente dalla impedenza elettrica). In più la sensibilità viene misurata in un punto particolare (sull’asse privilegiato) mentre la potenza risulta dall’integrale dell’intensità esteso ad una superficie chiusa che circonda la sorgente.(di solito una sfera). Dato che la potenza acustica irradiata non dipende dalla distanza dalla sorgente, si esegue il calcolo nel campo lontano dove l’impedenza di radiazione è costante e vale rc. Per collegare la potenza acustica alla risposta in frequenza (e quindi alla sensibilità in asse in funzione della frequenza) sono stati definiti il fattore di direttività Q e l’indice di direttività DI (Directivity Index). L’indice di direttività DI non va confuso con la distorsione integrale DI.

 

Il rendimento di un sistema di altoparlanti è definito come il rapporto tra la potenza_acustica_attiva prodotta (PA) e la potenza_elettrica_attiva (PE) assorbita per produrla. Si devono prendere le parti reali delle due potenze. Un altoparlante (di qualsiasi tipo) esegue due trasformazioni:

 

-          da stimolo elettrico a movimento meccanico

-          da movimento meccanico a variazione di pressione (suono).

 

Si devono quindi definire e calcolare i rendimenti di due trasformazioni (elettro-meccanica e meccanica-acustica). Il rendimento complessivo è il prodotto dei due espresso in percentuale..

 

Rendimento acustico = (Rendimento elettro-meccanico) x  (Rendimento meccanico-acustico)  

 

L‘amplificatore ha una sua impedenza interna e il trasferimento di energia dall’amplificatore al carico dipende anche da questa impedenza. Per semplificare supponiamo che l’amplificatore sia un generatore di tensione ideale (per es. con fattore di smorzamento FS > 100). Per calcolare il rendimento di un altoparlante è essenziale conoscerne tutti i parametri elettrici, meccanici ed acustici che lo caratterizzano.

 

Valori tipici di efficienza

Rendimento di un altoparlante per HiFi

tipicamente basso anche minore del 1%

Rendimento di un altoparlante per uso professionale

tipicamente attorno al 6% massimo 8% (woofer)

“Efficienza” di un altoparlante caricato a tromba

Dipende da come è calcolato

 

Per quanto riguarda la tromba il termine efficienza è stato virgolettato perché “l’efficienza” di un altoparlante caricato a tromba non viene calcolata in modo conforme alla definizione data tanto è vero che in letteratura si legge di sistemi a tromba che raggiungono “efficienza” del 40 e anche 50% (!).

 

La sfera pulsante ideale

 

Quando una sfera pulsante produce un Watt acustico in campo libero, si misurano, ad un metro di distanza, 109.2 dB SPL (spesso arrotondati a 109 dB). Se, sempre nel caso ideale, la sfera pulsante assorbisse un Watt elettrico, il suo rendimento sarebbe del 100% (ipotizzando un carico acustico infinito). Vediamo, nella tabella che segue, di quanto si riduce l’SPL prodotto dalla sfera al diminuire dell’efficienza.

 

SPL in dB

Sfera

Spazio intero

Angolo solido

In steradianti

Rendimento

In %

 

Relazione tra SPL, prodotto a un metro, e rendimento di una sfera pulsante nello spazio libero

 

Per quanto riguarda il pistone rigido su parete infinita la potenza acustica viene emessa per metà su un lato e per metà sull’altro (indicato con 2p+2p).

 

k = numero d’onda

a = raggio del pistone

 

In genere il valore di 109.2 dB viene arrotondato a 109 (0.2 dB è spesso inferiore all’errore di misura).

109.2

4p  o  2p+2p

100

106.2

4p  o  2p+2p

50

103.2

4p  o  2p+2p

25

100.2

4p  o  2p+2p

12.5

99.2

4p  o  2p+2p

10

97.2

4p  o  2p+2p

6.25

94.2

4p  o  2p+2p

3.125

93.2

4p  o  2p+2p

2.52

91.2

4p  o  2p+2p

1.5625

90.2

4p  o  2p+2p

1.26

89.2

4p  o  2p+2p

1

88.2

4p  o  2p+2p

0.78125

85.2

4p  o  2p+2p

0.390625

 

Il primo dato da notare è che una sfera pulsante ideale, che irradia su spazio intero, non è in grado di produrre più di un Watt acustico con un Watt elettrico in ingresso.  Per farlo dovrebbe possedere un rendimento superiore al 100% cosa impedita da Secondo Principio della Termodinamica (che vale per qualsiasi dispositivo reale macroscopico comprese le sorgenti acustiche).

Dalla tabella si evince che una sfera pulsante che produce 89.2 dB a un metro (alimentato con un  Watt elettrico) possiede un rendimento pari all’1%.  Se al posto di una sfera pulsante consideriamo un pistone rigido su parete infinita (di pari spostamento volumetrico) che emette complessivamente 1 Watt acustico (mezzo Watt per ogni semispazio), la tabella non cambia tranne per il fatto che al posto di 4p è stato scritto 2p+2p intendendo che metà potenza viene irradiata in un semispazio e l’altra metà nell’altro.

Consideriamo ora un altoparlante montato in cassa chiusa:

 

Metà della potenza acustica emessa viene dissipata all’interno del cabinet

Questo riduce il rendimento alla metà perché mezzo Watt acustico viene dissipato.

Il massimo trasferimento di energia si ottiene quando l’impedenza della sorgente è pari all’impedenza del mezzo (aria)

Al massimo viene trasferita sul carico metà della potenza disponibile. Questo riduce la potenza acustica di un’altra metà (Teorema del massimo trasferimento di energia).

 

Ne segue che la massima efficienza per un woofer montato in cassa chiusa non può raggiungere il 25%. Lo stesso vale per qualsiasi sorgente assimilabile ad un pistone caricato da una cassa chiusa (per esempio un driver a compressione indipendentemente dal rapporto di compressione).

Per ottenere il 25% di rendimento il woofer dovrebbe avere: massa tendente a zero, costante elastica nulla (complicanza infinita) e massa di carico infinita (SD infinita). L’unico parametro libero resta il fattore i forza. Si tratta evidentemente di un caso ideale (trattato anche da Keele in modo leggermente diverso ma con lo stesso risultato).

 

Ne segue che qualsiasi sorgente caricata da un volume posteriore chiuso presenta un rendimento minore del 25%.

 

Il sistema reflex è un sistema “ad inversione per risonanza”. In pratica una parte della potenza acustica prodotta dalla faccia del pistone che guarda all’interno del cabinet viene invertita in fase e sommata alla radiazione principale. In tal modo l’efficienza aumenta in corrispondenza della frequenza di risonanza del sistema. Al di sotto della risonanza, tuttavia, il sistema si comporta come un dipolo e la potenza acustica prodotta diminuisce (con essa il rendimento).

Quindi il sistema reflex è più efficiente rispetto alla cassa chiusa solo in corrispondenza di un limitato intervallo di frequenze nell’intorno della frequenza di risonanza mentre, al di sotto, è meno efficiente quindi possiamo tenere come riferimento il rendimento dell’altoparlante in cassa chiusa. La scelta della cassa chiusa, in questo caso aiuta a semplificare i calcoli.

 

Rendimento secondo Beranek

 

Beranek (Acoustic Measurements – pag 672) invece di calcolare il rendimento rispetto alla potenza elettrica applicata, definisce la “Available Power Efficiency” (efficienza con la potenza disponibile) e fornisce questa espressione:

 

Available Power Efficiency =100. Iax Ssfera /(Q Was)  = 100. (Iax Ssfera /Q)(1/ Was)               espresso  in %

 

Iax =  intensità acustica misurata a distanza x

Ss =  superficie di una sfera a distanza x

Q  = fattore di direttività della sorgente misurata a distanza x

Was=  potenza elettrica “disponibile”

Wele = Eg2/Zele  potenza elettrica effettivamente assorbita

 

Questo “trucco” gli consente di calcolare la parte reale della sola potenza acustica per ottenere il rendimento. Questo non è il rendimento. Poniamoci alla distanza di un metro. La superficie di una sfera di raggio pari ad un metro vale 4p. Al posto di Was mettiamo la potenza elettrica effettivamente assorbita Wele . Il rendimento diventa

 

Rendimento complesso =100. (Iax 4p /Q) (1/Wele)                       in % 

 

Dal momento che Iax 4p /Q è la potenza acustica prodotta dall’altoparlante, questa espressione coincide con  il rendimento se si prende la parte reale di Wele. Risulta:

 

Rendimento =100 Re[Iax 4p /Q] / Re[Wele] …………….. in %

 

Dove Re[.] indica la parte reale dell’argomento. Da questa ultima espressione si capisce la scelta di Beranek che, pur di semplificare, dà una definizione di rendimento facile da calcolare. La semplificazione dei calcoli, in ingegneria, ha senso perché, successivamente, si applicano i “coefficienti di sicurezza”. Né Beranek né altri fanno cenno a fattori di sicurezza né avrebbe senso applicarli. Qui i calcoli possono e devono essere fatti aplicando le definizioni.

 

Rendimento dell’altoparlante dinamico in letteratura

 

Abbiamo visto l’esempio di Beranek che 60 anni fa non disponeva di computer e doveva farsi i conti con carta e matita. In letteratura, il rendimento di un altoparlante dinamico è spesso espresso come segue (si noti che al denominatore appaiono solo prodotti):

 

secondo Small e Thiele

In questa espressione le grandezze sono “quasi” ortogonali nel senso che il rapporto Mms/ Sd  non può scendere, nella pratica, sotto un certo limite (limite tecnologico). Lo stesso vale per il rapporto tra la lunghezza del filo e la resistenza Re (Re/l è la resistività per metro del filo che si annulla solo con i superconduttori a temperature criogeniche). Il campo B, teoricamente, può essere grandissimo e portare il rendimento oltre al 100%.

Si noti che, se Re o Mms vanno a zero, il rendimento va all’infinito.

Per tutti questi motivi questa espressione non è accettabile. (vedere anche articolo 232 a “Maximun Efficiency of Direct-Radiator Loudspeakers” di D. R. (Don) Keele Jr. 91^ AES Convention ottobre 1991)

Espressione valida per un altoparlante in un semispazio e in centro banda (al di sopra della risonanza ma dove ancora vale il modello di pistone rigido  ka<<1).

Questa espressione,  equivalente alla precedente, è fuorviante perché  fs, Vas e Qes non sono tra loro ortogonali  In particolare sembra che il rendimento sia proporzionale a VAS (volume equivalente).

 

A parte il fatto che l’espressione del rendimento dovrebbe essere, in generale, del tipo 1/(1+x) con x diverso da zero, la seconda espressione del rendimento (qui sopra) dimostra la scarsa attenzione posta alla ortogonalità delle grandezze che definiscono la stato di un sistema.

In letteratura la maggioranza degli autori partono da un modello a parametri concentrati più o meno semplificato come quello che segue.

 

Da “Loudspeaker and Headphone Handbook” di J.Borwick- terza edizione – 2001 (leggermente modificato)

Equivalente elettrico dell’altoparlante dinamico su schermo infinito. Per l’impedenza di radiazione è stato usata l’approssimazione proposta da Beranek (con due resistori una capacità e una induttanza indipendenti dalla frequenza). Questo modello a parametri concentrati trascura i break up della membrana. Cm, Mm e Rm presentano, nella realtà, una certa dipendenza dalla frequenza e non sono lineari.

Anche Re e Le dipendono dalla frequenza e andrebbero sostituite con un circuito più accurato.

.

Da “Loudspeaker and Headphone Handbook” di J.Borwick- terza edizione – 2001

 

Il circuito equivalente visto è semplificato ma sosanzialmente corretto. I calcoli sono molto semplificati (oggi i calcoli li fanno i PC e non serve semplificare troppo). L’impedenza di radiazione Rm viene calcolata per ka<<1 mentre l’espressione della velocità è valida per frequenze superiori alla risonanza fondamentale dell’altoparlante e per Rms trascurabile rispetto a jwMm. Ne segue che l’espressione ottenuta è valida per un intervallo di frequenze molto ristretto e per altoparlanti con risonanza bassa e fattore di merito meccanico elevato. Per un woofer da 15” con SD= 900 cm2, ka=1 a 323 Hz e ka<<1 corrisponde a frequenza almeno inferiori a 62 Hz (cinque volte inferiore). Siamo quindi in prossimità (o anche al di sotto) della risonanza dove l’impedenza meccanica non è approssimabile con la sola massa. Quindi l’espressione ottenuta da Borwick può essere valida per woofer di diametro relativamente piccolo (per esempio 5” o 7”), con F0 bassa e Mms elevata mentre, per woofer oltre i 12 pollici di diametro nominale, potrebbe non essere valida a nessuna frequenza. L’espressione proposta non è sbagliata ma si applica solo in casi particolari.

 

Da “Loudspeaker and Headphone Handbook” di J.Borwick- terza edizione – 2001

Derivazione dell’espressione identificata da K e usata J. Borwick nel calcolo del rendimento..

Come si vede viene utilizzata l’espressione dell’impedenza di radiazione valida per ka <<1 (a=r  è il raggio del pistone).

 

Calcolo del rendimento (con meno semplificazioni)

 

Nota: Nel seguito si trascura l’effetto del riscaldamento di RE (resistenza dalla bobina). Per tenerne conto basta sostituire RE con RE(1+aDT). Si considera anche che l’altoparlante sia pilotato da un generatore ideale di tensione con fattore di smorzamento infinito (Rg=0). Nella pratica basta che sia FS> 100. Il riscaldamento della bobina mobile può dimezzare il rendimento (compressione termica) e alterare in modo significativo i fattori di merito.

L’elasticità dell’altoparlante è tipicamente una “molla soffice” per cui la frequenza di risonanza diminuisce all’aumentare dello spostamento. Questo fenomeno (tipicamente non lineare) può essere inserito nel modello ma complica notevolmente i calcoli.

 

Partiamo dal classico modello elettro-meccanico-acustico di un altoparlante dinamico a diaframma piatto (pistone) e perfettamente rigido. Il modello del pistone è valido finché la profondità del cono è piccola rispetto alla lunghezza d’onda del suono prodotto. Per i dettagli si veda il glossario.

 

Profondità del diaframma

Frequenza corrispondente in Hz

Limite di validità in Hz

6 cm

5733

5733/8=716

5 cm

6880

860

4 cm

8600

1075

3 cm

11466

1433

2 cm

17200

2150

1 cm

34400

4300

 

Di norma il limite imposto dalla condizione ka<<1 viene raggiunto prima del limite imposto dalla profondità del cono motivo per cui non è necessario tenere conto di quest’ultimo. Per esempio un woofer da 7” è profondo circa 2 centimetri e il modello “pistone piatto” è valido fino a circa 2000 Hz mentre ka=1 si ottiene a circa 850 Hz. Per i coni in carta c’è un altro limite dovuto all’effetto coincidenza che determina una rottura nella regione compresa tra 500 e 700 Hz (dove in genere si trova anche la risonanza del rim). A conti fatti il modello semplificato non può essere esteso oltre i 700 Hz nemmeno per i woofer da 5” (con cono in carta). Per gli altoparlanti con il cono in alluminio (magari conoscendone il fattore di direttività) il modello può essere esteso di più.

 

Diametro nominale

SD cm2

ka=0.1

ka=1

 

Limiti di validità ka<<1

Per woofer di diametro crescente.

 

 

Per un 18” il limite ka << 1 sarebbe raggiunto a 29Hz che spesso è inferiore alla risonanza in aria.

 

In genere si accetta di estendere il limite di validità fino alla frequenza corrispondente a ka=1 (accettando evidentemente un certo errore)

5 pollici

80

108 Hz

1084 Hz

5 pollici (Scan)

95

100 Hz

1000 Hz

5 pollici (Seas)

104

95 Hz

951 Hz

7 pollici (Seas)

126

86 Hz

864  Hz

7 pollici (Scan)

134

85 Hz

851 Hz

7 pollici (Scan)

154

78 Hz

782 Hz

8 pollici

220

65 Hz

654 Hz

10 pollici

330

53 Hz

534 Hz

10 pollici

363

51 Hz

509 Hz

12 pollici

460

45 Hz

452 Hz

12 pollici

508

43 Hz

430 Hz

15 pollici

900

32 Hz

323 Hz

18 pollici

1134

29 Hz

288 Hz

 

 

Zma contiene una componete reattiva che equivale ad una massa. Tale massa appare, in prima approssimazione, in serie a Mms e, essendo normalmente molto più piccola di Mms, di solito viene trascurata (ma con un errore che arriva anche oltre il 10%). Anche la componente resistiva dell’impedenza di radiazione è piccola ma non può essere trascurata perché è la responsabile della radiazione della potenza acustica. La potenza acustica è quella dissipata sulla parte reale dell’impedenza di radiazione presente nel modello. Il modello proposto, mutatis mutandis, vale anche per un woofer in cassa chiusa: il carico dell’aria sulle due facce del diaframma, in tal caso, è diverso e si deve aggiungere l’elasticità del volume del cabinet e le relative perdite. Oltre a ciò si modifica anche l’impedenza di radiazione a causa delle dimensioni finite del pannello frontale e l’impedenza di radiazione verso l’interno del cabinet (ammesso se ne voglia tenere conto). Il rendimento complesso si calcola come rapporto tra la potenza elettrica in ingresso  (Eg)2/(Zes+Ze+Rg) e la potenza erogata sull’ equivalente elettrico dell’impedenza di radiazione (Ea)2/Z dove Z indica l’equivalente elettrico della impedenza specifica di radiazione. Per comodità usiamo la notazione di Dirac:

 

Pa = <Ea|Ea>|Z> = <H(jw)Eg|H(jw)Eg>|Z>   dove  Z= SD2 Zaa/(BL)2  (quadrato della velocità x impedenza di radiazione)

Pa =   |Eg|2<H(jw)|H(jw)>|Z>  = |Eg|2 |H(jw)|2 |Z>   

Ne segue che |Eg|2 si semplifica e scompare. Il fattore di forza (BL)2 è una costante e quindi  può essere “spostata” come più conveniente, in questo caso per trasformare una impedenza elettrica nel suo equivalente meccanico. Otteniamo così l’espressione del rendimento complesso funzione complessa della frequenza: 

 

                  |Ea|2  SD2 Zaa /(BL)2     |H(jw)|2 SD2 Zaa

 Rendimento(jw) = ----- -------------- = ------------------

                  |Eg|2    1/(Zes+Ze)     Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa

 

                               SD2 Zaa

 Rendimento(jw) = |H(jw)|2 ------------------

                           Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa

 

considerando che |H(jw)|2 è un modulo (quindi reale) lo fattorizziamo quindi prendiamo le parti reali del numeratore e del denominatore e otteniamo il Rendimento:

 

 

                            RE[ SD2 Zaa]

 Rendimento(w) = |H(jw)|2 ------------------

                         RE[Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa]

 

Dove  (BL)2/(Zes+Ze) = (Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa) e H(jw) è la funzione di trasferimento della velocità dell’altoparlante.

Si noti che, dimensionalmente, Rendimento(jw) è il rapporto di impedenze meccaniche moltiplicato per una funzione adimensionale e quindi è adimensionale (come deve essere).

 

Al tendere di SD a infinito, ovvero per superficie di radiazione infinita, il rendimento complesso tende a |H(jw)|2 che è il modulo quadro di una funzione di trasferimento normalizzata (la dimostrazione è triviale).  Anche |H(jw)|2 , per SD che tende a infinto, tende a uno infatti;

 

          Zes     Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa           (BL2/Ze)

 H(jw) = ------ = ------------------  -> 1+ -----------   

         Zes+Ze      Zm + SD2Zaa             Zm + SD2Zaa

                         

per SD che tende a infinito, il secondo addendo tende a zero. Quindi, per SD che tende a infinto, il rendimento tende ma non supera il 100%. H(jw) tende a uno anche quando Ze tende a zero ovvero quando l’altoparlante è eccitato da una corrente infinita.

 

Applicando questo risultato ad una numero N di altoparlanti collegati in serie, si vede che il rendimento, per N piccolo, cresce quasi come N mentre, per N  grande,  tende asintoticamente a |H(jw)|2 (perché la superficie tende a infinito).

 

Rendimento complesso

Per N piccolo

Per N grande al denominatore resta solo

N SD2Zaa

 

  |H(jw)|2 N2 SD2 Zaa

----------------------

NZm+N(BL2/Ze)+N2 SD2Zaa

 

 |H(jw)|2 N SD2 Zaa

-------------------    Zm+(BL2/Ze)+N SD2Zaa

 

 |H(jw)|2 N SD2 Zaa

------------------=|H(jw)|2

     N SD2Zaa

 

Questo risultato rispetta il Secondo Principio della Termodinamica e fornisce una espressione consistente del rendimento complesso. Si noti che, per N grande, il rendimento diventa una funzione reale.

Il rendimento che interessa calcolare, tuttavia, è il rendimento reale per una sorgente che è dato dal rapporto delle parti reali della potenza acustica e della potenza elettrica. (Re[.] indica la parte reale).

 

                  Re[Pa]                  RE[SD2 Zaa]

 Rendimento(w) = ------- = |H(jw)|2 ----------------------

                  Re[Pe]            Re[Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa]

 

Confrontiamo la parte reale di un rapporto con il rapporto delle parti reali:

 

    a+ib        aA + bB + i(aB+Ab)     aA + bB     

Re[------] = Re[------------------] =  -------

    A+iB             A2+B2                A2+B2

 

Re[a+1b]    a

-------- = ---

Re[A+iB]    A

 

Se  B=b=0 le espressioni coincidono, ma rielaboriamo la parte reale del rendimento complesso:

 

aA + bB      Aa   1 +(bB/aA)      a   1 + tg(a)tg(b)

-------- =  ---  ------------  = --- ---------------

 A2+B2        A2   1 + (B2/A2)      A    1 + tg2(b)

 

Con evidente significato dei simboli. Ne segue che il rendimento complesso tende al rendimento reale per

-          b =0  (si veda Available Power Efficiency  di Beranek)

-          a e b sono piccoli

-          a=b

 

Re[A/B] è diverso da Re[A]/Re[B] e il rendimento non coincide con la parte reale del rendimento complesso. Non resta che fare i calcoli.

Come si è visto, se non si usano troppe semplificazioni, si raggiunge un risultato in accordo con i principi della meccanica e della termodinamica. Ora, su una espressione consistente del rendimento, si possono fare tutte le semplificazioni che si desiderano:

 

-          se interessa il rendimento a bassa frequenza si può trascurare la componente reattiva dell’impedenza della bobina mobile  e inglobare (BL)2/RE in Zm.  

-          Se la superficie di radiazione SD non è troppo grande si può trascurate SD2Zaa al denominatore (questo implica un rendimento basso)

-          Se si cerca una soluzione rapida si trascurano l’elasticità e le perdite resistive dell’altoparlante

-          Se si vuole fare ancora prima si spara un numero a caso.

 

In questo modo si ottengono i risultati riportati in letteratura che, è bene ripeterlo, non sono “sbagliati” ma possono indurre all’errore perché non sono debitamente descritte tutte le semplificazioni apportate e le loro conseguenze. In particolare, come visto, risultano poco accurate proprio per quegli altoparlanti di grande diametro che si vorrebbero più efficienti possibile. Altre considerazioni rilevanti si trovano nel supplemento della parte seconda dove è spiegato quanto sia importante tenere conto dello spettro della potenza elettrica dello stimolo applicato.

 

Calcolo del rendimento meccanico e del rendimento acustico (separatamente)

Nel seguito si calcolano, separatamente, il rendimento meccanico ed il rendimento acustico. Si parte dalle definizioni.

 

Potenza meccanica = Lavoro/tempo = <forza|velox>         (velox=velocità)

Potenza elettrica = Tensione* x Corrente = <vin |iin>

 

L’asterisco rappresenta il complesso coniugato.

Forza, velocità, tensione e corrente sono tutte funzioni della variabile complessa jw. Vedremo nel seguito che si può operare indistintamente con i valori di picco o RMS. La figura con i circuiti equivalenti e poco più sopra. Riassumiamo le ipotesi che stanno alla base di questo modello:

 

-          la velocità dell’aria a contatto del diaframma è pari la velocità del diaframma

-          la corrente è quella che effettivamente scorre nella bobina mobile dell’altoparlante

-          l’altoparlante possiede un diaframma piatto perfettamente rigido

-          se il diaframma è conico la sua profondità è piccola rispetto alla lunghezza d’onda

-          l’altoparlante è rappresentato con un modello a parametri concentrati

-          RE non cambia con la temperatura

-          l’altoparlante è perfettamente lineare (vale il principio di sovrapposizione degli effetti)

-          un lato dell’altoparlante è chiuso in un volume con pareti rigido e sottili

-          L’altoparlante è pilotato da un generatore di tensione ideale (Rg=0)

 

Nessuna ipotesi viene fatta sulla impedenza di radiazione che è quella che è.  La validità del calcolo è limitata al campo di frequenze dove le ipotesi sono rispettate. Se c’è una tromba si dovrà conoscere l’impedenza di ingresso alla gola che costitisce il carico dell’altoparlante.

 

 

Per tenere conto di Rg basta sommarla a Ze. Per tenere conto della temperatura basta scrivere RE=RE(20°)(1+0.004(K-20)) dove K è espresso in gradi Kelvine RE(20°) significa che RE è stata misurata a 20 °C.

.

 

Rendimento

elettro

meccanico

 

  Re[Potenza_meccanica]

  -----------------------------

   Re[Potenza_elettrica]

 

Re[Zes]

---------------------- 

Re[Zes+Ze]

 

(Zes equiv. Elettrico di Zm) Si noti che il denominatore è misurabile direttamente.

 

Rendimento

meccano

acustico

 

    Re[Potenza_acustica]

 --------------------------------

 Re[Potenza_meccanica]

   

Re[Za]

------------------

Re[Za+ Zm]

Zaa è l’impedenza di radiazione acustica, Zmec è l’impedenza meccanica

 

Se il circuito equivalente è quello in figura qui sopra il rendimento massimo a bassa frequenza è quello calclato mentre diminuirà versole frequenze alte.

 

Per eseguire i calcoli sono necessarie poche proprietà dei numeri complessi:

 

<Z1|Z2>= Z1*Z2

Prodotto scalare pre-hermitiano

Gli Z sono numeri complessi del tipo Z=a+ib

Z*=a-ib

L’asterisco indica il complesso coniugato. Re[] = parte reale

Re[Z]=Re[Z*]

Parte reale di Z e del coniugato

(ab)* =a* b*

Coniugato del prodotto

|1/z|2=z*/|z|2

Modulo quadro dell’inverso

|z1| |z2| = |z1 z2|

Prodotto di moduli

 

Così come deve essere, nelle espressioni del rendimento non compare la tensione e la corrente ma solo le impedenze quindi tensioni e correnti possono essere misurate con i valori di picco o rms senza produrre alcuna modificazione.

Za è l’impedenza di radiazione (quella che serve). Queste espressioni, modificando opportunamente Zm e Za, sono valide per qualsiasi altoparlante che irradi potenza a custica da una sola faccia.(l’altoparlante su schermo infinito, alla fine di un lungo tubo, in cassa chiusa, caricato da una tromba, ecc.). Non possono valere per i sistemi a inversione (reflex e linee di trasmissione) perché ciò richiede la somma di almeno due contributi (per es. attivo e condotto del reflex). Però basta eseguire i relativi calcoli e ottenere le relazioni adeguate. Per il reflex, la differenza comunque riguarda un range di frequenze molto limitato. In generale l’altoparlante esperisce un carico diverso sulle due facce del diaframma e, per calcolare la velocità, è sufficiente tenerne conto.

 

Il rendimento elettro-meccanico è massimo quando Ze è nullo ovvero quando l’induttanza della bobina mobile è nulla (che potrebbe essere solo impiegando un superconduttore per avvolgere la bobina mobile). In tal caso però la corrente che scorre nella bobina sarebbe infinita, la forza sarebbe ugualmente infinita e il diaframma sarebbe soffetto ad uno spostamento infinito.

Quindi RE+Rg  non può essere nulla. Ne segue che il rendimento è sempre minore di 1 (100%)

Si noti che, per ottenere il massimo trasferimento di potenza acustica al carico, deve essere Zm=Za. Quando ciò avviene il rendimento meccano-acustico vale 0.5 (50%). Considerando che l’altoparlante irradia solo con una faccia e che metà della potenza acustica è perduta, il massimo rendimento meccano-acustico vale 0.25 (25%). La presenza del volume che chiude una faccia dell’altoparlante ne modifica i parametri meccanici. Il rendimento potrà aumentare a certe frequenze ma  diminuirà ad altre. Il rendimento acustico va moltiplicato per il rendimento elettro-meccanco. Quindi il rendimento totale di un altoparlante reale, a temperatura ambiente, è comunque minore del 25%.  Il riscaldamento della bobina mobile  riduce il rendimento (perché parte della potenza elettrica va a riscaldare la bobina).

 

                         Re[Za]       Re[Zes]

      Rendimento(jw) = ----------- -----------   (1)

                       Re[Zm+Za]  Re[Ze+Zes]

 

Nota: Zm + Za = (BL)2/Zes.

 

 

In questo esempio un woofer è montato nello stesso volume in cassa chiusa ed in reflex. Tra 58 e 200Hz il rendimento è aumentato ma sotto i 58 Hz è diminuito.

 

Quindi si ottine un rendimento maggiore ma su una banda passante più stretta

 

Come detto Rg  è stata posta a zero. Nelle effettive condizioni d’uso Rg può essere trascurata quando il fattore di smorzamento supera (per esempio) 100. Rg può comunque essere sommata a Ze.

 

 

Variazione di Rg

 

Rg=0 -> Fattore di smorzamento infinito

Rg=2 ->Fattore di smorzamento = 4

Rg=4 ->Fattore di smorzamento = 2

Rg=8 ->Fattore di smorzamento = 1

Rg=16 ->Fattore di smorzamento = 0.5

 

La presenza di Rg provoca una diminuzione della  efficienza  che dipende dalla frequenza.

(Nota: la risposta in frequenza è il modulo della funzione di trasferimento)

 

L’ espressione (1) è facilmente leggibile anche nel significato fisico. Notiamo che l’espressione (1) è consistente per ogni valore delle grandezze in essa presenti.

Dato che il rendimento è espresso nella forma di prodotto di due fattori del tipo 1/(1+x) (ciascuno mi nore di uno) risulta minore al 100% in accordo con il Secondo Principio della Termodinamica.

 

Il rapporto Zes/(Zes+Ze) vale 1 solo per Ze=0. Questo significa che, per aumentare il rendimento meccanico, si deve ridurre Ze (impedenza elettrica della bobina mobile).

Il termine Re[Za]/Re[(Zm+Za)] indica che, per ottenere un altoparlante efficiente, l’ impedenza meccanica deve tendere a Za (condizione di massimo trasferimento di energia) oppure Zm deve essere minima (in particolare la massa dell’apparato mobile deve essere piccola e BL grande).

 

Per diminuire Zm deve diminuire la densità superficiale dell’altoparlante. Il limite pratico per la densità superficiale di un woofer vale circa  0.045 grammi per centimetro quadro. Si possono ottenere woofer con buone caratteristiche con valori di densità superficiale a partire da circa 0.085. Sotto tale limite le cose si complicano. Al contrario è facile realizzare ottimi altoparlanti con densità superficiale a partire da 0.1 in su (ma il rendimento è basso). Alcuni altoparlanti presentano densità superficiale superiore a 0.2. C’è un woofer commerciale con densità 0.67.

 

 

 

Woofer in cassa chiusa:

Raddoppiando la massa dinamica del woofer, il rendimento diminuisce ma aumenta l’estensione verso le basse frequenze (oppure si può ridurre il volume e mantenere la stessa estensione verso il basso).

 

Il rendimento va valutato in funzione della massima potenza elettrica sopportabile. Se un woofer sopporta 100 Watt con rendimento dello 0.5%, produce lo stesso SPL di un woofer che sopporta 10 Watt con rendimento del 5%. Resta da vedere se la Xmax del woofer “leggero” consente di raggiungere gli stessi valori di SPL del woofer “pesante” (a parità di distorsione). Oggi un woofer professionale arriva a sopportare oltre 1400 Watt (IEC) e oltre 4000 Watt in regime musicale (con un rendimento del 2%, produrrebbe 28 Watt acustici ovvero 123 dB a 1 metro su spazio).

 

L’efficienza elettro-meccanica dell’altoparlante dipende dal carico (dipolo, cassa chiusa, reflex, linea di trasmissione…). Il carico altera la velocità dell’apparato mobile alle frequenze più basse (nell’intorno della risonanza del sistema) e via via sempre meno al crescere della frequenza. Nella realtà anche la componente efficace di Mms può ridursi al crescere della frequenza a causa dei break up della membrana. Alcuni diaframmi sono corrugati e la loro massa (e SD) decresce gradatamente con la frequenza. Contemporaneamente, Il fattore di direttività aumenta anche a causa della forma conica del diaframma. Nel caso ideale del pistone rigido Mms non cambia con la frequenza. Il rendimento, comunque, dipende dalla frequenza attraverso l’impedenza di radiazione.

Dato che ad ogni dimezzamento della frequenza riprodotta, per mantenere lo stesso SPL, lo spostamento volumetrico deve quadruplicare, per produrre pressioni elevate a bassa frequenza servono woofer molto grandi (SD grande) capaci di Xmax molto ampi (oggi si arriva anche a oltre i 50 mm di escursione picco-picco ma una bobina pesante limita il rendimento). La tendenza è quella di diminuire le dimensioni e sfruttare la potenza degli amplificatori in classe D dal peso molto ridotto.

 

Calcolo del rendimento (alternativo)

Senza troppe spiegazioni si consideri la figura che segue:

Questo calcolo “sembra” giusto ma,  per esempio, non considera le potenze attive.

 

Rendimento di più trasformazioni in cascata

Come si è visto calcolando separatamente il rendimento meccanico ed acustico, il rendimento di più trasformazioni in cascata si ottiene moltiplicando tra loro i diversi rendimenti (che non devono essere espressi in percentuale ma riferiti all’unità). In tal modo applicando due trasformazioni successive, una con rendimento del 50% e una a con rendimento dell’40%, si ottiene 0.5x0.4=0.2 ovvero 20%.

In sostanza il rendimento sarà sempre minore del rendimento della trasformazione con il rendimento più basso. Questo ragionamento si applica anche quando, davanti ad un altoparlante, viene posta una tromba: il rendimento dell’altoparlante va moltiplicato per il rendimento della tromba. Nella realtà quando si collegano dei dispositivi in serie si osservano delle “perdite di inserzione” che, non a caso, si chiamano perdite. Una tromba, comunque sia realizzata, è un dispositivo passivo e come tale non può aumentare la potenza acustica che entra nella sua gola. Quello che può fare e massimizzare il trasferimento di potnza agendo come un adattatore di impedenza. Il rendimento ideale di una tromba, priva di perdite di inserzione e perfettamente adattata alla gola (alla bocca una tromba finita non può essere adattata a tutte le frequenze), vale necessariamente meno di uno (meno del 100%). Il rendimento asintotico dei sistemi a tromba è quindi immediatamente ottenuto.

 

Perdite di inserzione (da Wikipedia)

In elettronica e nelle telecomunicazioni, l'insertion loss (perdita di inserzione) è la perdita di potenza di un segnale dovuta all'inserimento di un dispositivo all'interno di una linea di trasmissione o in una fibra ottica ed è solitamente espressa in decibel (dB).

Se PT è la potenza trasmessa sul carico prima dell'attenuazione e PR è la potenza ricevuta dal carico dopo l'attenuazione, allora l'insertion loss in dB è data da,

Nota: una tromba è molto più simile ad una linea di trasmissione (a sezione variabile) che ad un trasformatore.

 

Le considerazioni di natura energetica e termodinamica hanno la precedenza su qualsiasi altra considerazione questo perché la conservazione dell’energia  ed il Secondo Principio della Termodinamica devo comunque essere rispettati.

La natura è fatta in un certo modo.

 

Segue: La misura della sensibilità