Potenza Acustica, Efficienza, Sensibilità degli Altoparlanti Dinamici

di Mario Bon

 

 

Glossario essenziale: da “Altoparlante” a  “Xmax”

Parte Prima:               La potenza (meccanica, acustica, elettrica, ecc.)

Parte Seconda:           Efficienza dell’ altoparlante dinamico

Parte Terza:                La misura della sensibilità

Parte Quarta:              Altoparlante Equivalente

Parte Quinta:              Valutazione del Rendimento di un generico sistema di altoparlanti.

Appendici:                  #1  #2  #3

 

 

 

Parte Seconda: Efficienza dell’ altoparlante (dinamico)

Profondamente rivisto 1  dicembre 2015 – ultima revisione  17/06/2017

 

Rendimento e Sensibilità

La sfera pulsante ideale

Rendimento secondo Beranek

Rendimento dell’altoparlante dinamico in letteratura

Calcolo del rendimento (con meno semplificazioni)

Calcolo del rendimento meccanico e del rendimento acustico

Calcolo del rendimento (alternativo)

 

 

 

Rendimento e Sensibilità

 

In inglese efficienza e rendimento si traducono allo stesso modo con “efficiency”. In italiano sono sinonimi,

Il generale l’efficienza o Rendimento, di un qualsiasi processo che produca lavoro, è il rapporto tra la potenza_attiva_ottenuta e la potenza_attiva_consumata per ottenerla. Anche Beranek si attiene a questa definizione (Acoustic Measurements – pag 672) tranne poi sostituire la potenza elettrica con la “available power” (potenza disponibile) e ipotizzare, per la misura, la disponibilità di un generatore di potenza costante. Per calcolare il rendimento è essenziale conoscere con precisione la potenza utilizzata e, nel caso di un altoparlante, basta misurare l’impedenza elettrica (dell’altoparlante) e misurare la tensione presente ai suoi capi durante la misura. Se poi, per la misura, si utilizza un amplificatore con fattore di smorzamento alto (>100) e cavi di sezione adeguata, la cosa è ancora più semplice perché si può fare a meno di misurare la tensione ai capi dell’altoparlante (che risulterà costante). Di solito il rendimento si esprime in parti per cento ed è sempre minore del 100%. Se in rendimento non è espresso in % allora vale meno di uno.

 

Per il Secondo Principio della Termodinamica nessun dispositivo può avere un rendimento maggiore o uguale al 100% (creerebbe energia dal nulla).

 

Le “macchine” con il rendimento più alto sono i trasformatori elettrici che sono dispositivi passivi senza parti in  movimento (rendimento anche superiore 99%). La macchina termica con il rendimento più elevato è la macchina di Carnot. Per i dettagli si veda un buon testo di termodinamica (per es. quello scritto da Enrico Fermi – edizioni Bompiani). Anche una tromba è un dispositivo passivo senza parti in movimento e infatti il suo rendimento è molto elevato: almeno nel range di funzionamento,  tutta la potenza acustica immessa nella gola esce dalla bocca (anche se non tutta assieme….). Dalla bocca della tromba non può uscire una quantità di potenza maggiore di quella che è entrata nella gola. Se ciò avviene, in corrispondenza di qualche particolare frequenza, significa che, a qualche altra frequenza, il rendimento si è ridotto.

 

Il rendimento e la sensibilità sono due cose diverse e non devono essere confuse.

 

La sensibilità di un sistema di altoparlanti è il livello SPL che questo produce in campo libero, sull’asse privilegiato di radiazione,  riferito ad un metro di distanza, quando si applichi, al suo ingresso, uno  stimolo di tensione pari 2.83 Vrms.

La sensibilità quindi è riferita alla tensione efficace in ingresso e non alla potenza elettrica assorbita dal sistema (la sensibilità è indipendente dalla impedenza elettrica). In più la sensibilità viene misurata in un punto particolare (sull’asse privilegiato) mentre la potenza risulta dall’integrale dell’intensità esteso ad una superficie chiusa attorno alla sorgente.(di solito una sfera)

 

Il rendimento di un sistema di altoparlanti è definito come il rapporto tra la potenza_acustica_attiva prodotta (PA) e la potenza_elettrica_attiva (PE) assorbita  per produrla.  Si devono prendere le parti reali delle due potenze. Un altoparlante (di qualsiasi tipo) esegue due trasformazioni:

 

-          da stimolo elettrico a movimento meccanico

-          da movimento meccanico a variazione di pressione (suono).

 

Si devono quindi definire e calcolare i rendimenti di due trasformazioni (elettro-meccanica e meccanica-acustica). Il rendimento complessivo è il prodotto dei due espresso in percentuale..

 

Rendimento acustico = (Rendimento elettro-meccanico) x  (Rendimento meccanico-acustico)  

 

L‘amplificatore ha una sua impedenza interna e il trasferimento di energia dall’amplificatore al carico dipende anche da questa impedenza. Per semplificare supponiamo che l’amplificatore sia un generatore di tensione ideale (per es. FS > 100). Per calcolare il rendimento di un altoparlante è essenziale conoscerne tutti i parametri elettrici, meccanici ed acustici che lo caratterizzano.

 

Valori tipici di efficienza

Rendimento di un altoparlante per HiFi

tipicamente basso anche minore del 1%

Rendimento di un altoparlante per uso professionale

tipicamente minore del 6% (woofer)

“Efficienza” di un altoparlante caricato a tromba

anche superiore al 20%

 

Per quanto riguarda la tromba il termine efficienza è stato virgolettato perché “l’efficienza” di un altoparlante caricato a tromba non viene calcolata in modo conforme alla definizione data tanto è vero che in letteratura si legge di sistemi a tromba che raggiungono “efficienza” del 40 e anche 50% (!).

 

La sfera pulsante ideale

 

Quando una sfera pulsante produce un Watt acustico in campo libero, si misurano, ad un metro di distanza, 109.2 dB  SPL. (arrotondati per comodità a 109 dB).  Se, sempre nel caso ideale, la sfera pulsante assorbisse un Watt elettrico, il suo rendimento sarebbe del 100% (ipotizzando un carico acustico infinito). Vediamo di quanto si riduce l’SPL prodotto dalla sfera al diminuire dell’efficienza.

 

SPL in dB

Sfera

Spazio intero

Angolo solido

In steradianti

Rendimento

In %

 

Relazione tra SPL, prodotto a un metro, e rendimento di una sfera pulsante nello spazio libero

 

Per quanto riguarda il pistone rigido su parete infinita la potenza acustica viene emessa per metà su un lato e per metà sull’altro (indicato con 2p+2p).

 

k = numero d’onda

a = raggio del pistone

 

In genere il valore di 109.2 dB viene arbitrariamente arrotondato a 109 (0.2 dB è spesso inferiore all’errore di misura).

109.2

4p  o  2p+2p

100

106.2

4p  o  2p+2p

50

103.2

4p  o  2p+2p

25

100.2

4p  o  2p+2p

12.5

99.2

4p  o  2p+2p

10

97.2

4p  o  2p+2p

6.25

94.2

4p  o  2p+2p

3.125

93.2

4p  o  2p+2p

2.52

91.2

4p  o  2p+2p

1.5625

90.2

4p  o  2p+2p

1.26

89.2

4p  o  2p+2p

1

88.2

4p  o  2p+2p

0.78125

85.2

4p  o  2p+2p

0.390625

 

Il primo dato da notare è che una sfera pulsante ideale, che irradia su spazio intero, non è in grado di produrre più di un Watt acustico con un Watt elettrico in ingresso.  Per farlo dovrebbe possedere un rendimento superiore al 100% cosa impedita da Secondo Principio della Termodinamica (che vale per qualsiasi dispositivo reale macroscopico comprese le sorgenti acustiche). 

Dalla tabella si evince che una sfera pulsante che produce 89.2 dB a un metro (alimentato con un  Watt elettrico) possiede un rendimento pari all’1%.  Se al posto di una sfera pulsante consideriamo un pistone rigido su parete infinita (di pari spostamento volumetrico) che emette complessivamente 1 Watt acustico (mezzo Watt per ogni semispazio), la tabella non cambia tranne per il fatto che al posto di 4p si deve scrivere 2p+2p intendendo che metà potenza viene emessa in un semispazio e l’altra metà nell’altro.

Consideriamo ora un altoparlante montato in cassa chiusa:

 

Metà della potenza acustica emessa viene dissipata all’interno del cabinet

Questo riduce il rendimento alla metà perché mezzo Watt acustico viene perso.

Il massimo trasferimento di energia si ottiene quando l’impedenza della sorgente è pari all’impedenza del mezzo

Al massimo viene trasferita sul carico metà della potenza disponibile. Questo riduce la potenza acustica di un’altra metà  (Teorema del massimo trasferimento di energia)

 

Ne segue che la massima efficienza per un woofer montato in cassa chiusa non può raggiungere il 25%. Lo stesso vale per un driver a compressione (indipendentemente dal rapporto di compressione).

Per ottenere il 25% di rendimento il woofer dovrebbe avere: massa tendente a zero, costante elastica nulla (complicanza infinita) e massa di carico infinita (SD infinita). L’unico parametro libero resta il fattore i forza. Si tratta evidentemente di un caso ideale (trattato anche da Keele in modo leggermente diverso ma con lo stesso risultato).

 

Ne segue che qualsiasi sorgente caricata da un volume chiuso presenta un rendimento minore del 25%.

 

Il sistema reflex è un sistema “ad inversione per risonanza”. In pratica una parte della potenza acustica prodotta dalla faccia del pistone che guarda all’interno del cabinet viene invertita in fase e sommata alla radiazione principale. In tal modo l’efficienza aumenta in corrispondenza della frequenza di risonanza del sistema. Al di sotto della risonanza, tuttavia, il sistema si comporta come un dipolo e quindi la potenza acustica prodotta diminuisce.

Quindi il sistema reflex è più efficiente rispetto alla cassa chiusa solo in corrispondenza di un limitato intervallo di frequenze nell’intorno della frequenza di risonanza.-

 

Rendimento secondo Beranek

 

Beranek (Acoustic Measurements – pag 672) invece di calcolare il rendimento rispetto alla potenza elettrica applicata, definisce la “Available Power Efficiency” (efficienza con la potenza disponibile) e fornisce questa espressione:

 

Available Power Efficiency =100.  Iax Ssfera /(Q Was)  = 100.  (Iax Ssfera /Q)(1/ Was)               espresso  in %

 

Iax =  intensità acustica misurata a distanza x

Ss =  superficie di una sfera a distanza x

Q  = fattore di direttività della sorgente misurata a distanza x

Was=  potenza elettrica “disponibile”

Wele = Eg2/Zele  potenza elettrica effettivamente assorbita

 

Questo “trucco” gli consente di calcolare la parte reale della sola potenza acustica per ottenere il rendimento reale. Poniamoci alla distanza di un metro. La superficie di una sfera di raggio pari ad un metro vale 4p. Al posto di Was mettiamo la potenza elettrica effettivamente assorbita Wele . Il rendimento diventa

 

Rendimento complesso =100.  (Iax 4p /Q) (1/Wele)                       in % 

 

Dal momento che Iax 4p /Q è la potenza acustica prodotta dall’altoparlante, questa espressione coincide con  il rendimento complesso conforme alla definizione. Il rendimento reale è invece:

 

Rendimento =100.  Re[Iax 4p /Q] / Re[ Wele]  in %

 

Dove Re[.] indica la parte reale dell’argomento.  Da questa ultima espressione si capisce la scelta di Beranek che, pur di semplificare, dà una definizione di rendimento facile da calcolare. La semplificazione dei calcoli, in ingegneria, ha senso perché, successivamente di applicano i “coefficienti di sicurezza”. Né Beranek né altri fanno cenno a fattori di sicurezza né avrebbe senso applicarli. 

 

Rendimento dell’altoparlante dinamico in letteratura

 

Abbiamo visto l’esempio di Beranek che 60 anni fa non disponeva di computer e doveva farsi i conti con carta e matita. In letteratura, il rendimento di un altoparlante dinamico è spesso espresso come segue (si noti che al denominatore appaiono solo prodotti):

 

secondo Small e Thiele

In questa espressione le grandezze sono “quasi” ortogonali nel senso che il rapporto Mms/ Sd  non può scendere, nella pratica, sotto un certo limite (limite tecnologico). Lo stesso vale per il rapporto tra la lunghezza del filo e la resistenza Re (Re/l è la resistività per metro del filo che si annulla solo con i superconduttori a temperature criogeniche). Il campo B, teoricamente, può essere grandissimo e portare il rendimento oltre al 100%.

Si noti che, se Re o Mms vanno a zero, il rendimento va all’infinito.

Per tutti questi motivi questa espressione non è accettabile. (vedere anche articolo 232 a “Maximun Efficiency of Direct-Radiator Loudspeakers” di D. R. (Don) Keele Jr. 91^ AES Convention ottobre 1991)

Valida per un altoparlante in un semispazio e in centro banda (al di sopra della risonanza ma dove ancora vale il modello di pistone rigido  ka<<1).

Questa espressione,  che dovrebbe essere equivalente alla precedente, è fuorviante perché  fs, Vas e Qes non sono tra loro ortogonali  In particolare sembra che il rendimento sia proporzionale a VAS (volume equivalente).

 

A parte che l’espressione del rendimento dovrebbe essere, in generale, del tipo 1/(1+x) con x diverso da zero, la seconda espressione del rendimento (qui sopra) dimostra la scarsa attenzione posta alla ortogonalità delle grandezze che definiscono la stato di un sistema.

Tutti gli autori partono da un modello a parametri concentrati più o meno semplificato come quello che segue.

 

Da “Loudspeaker and Headphone Handbook” di J.Borwick- terza edizione – 2001 (leggermente modificato)

Equivalente elettrico dell’altoparlante dinamico su schermo infinito. Per l’impedenza di radiazione è stato usata l’approssimazione proposta da Beranek (con due resistori una capacità e una induttanza indipendenti dalla frequenza). Questo modello a parametri concentrati trascura i break up della membrana. Cm, Mm e Rm presentano, nella realtà, una certa dipendenza dalla frequenza. Cm e BL, nella realtà, non sono lineari.

Anche Re e Le dipendono dalla frequenza e andrebbero sostituite con un circuito più accurato.

 

 

Da “Loudspeaker and Headphone Handbook” di J.Borwick- terza edizione – 2001

 

Questo circuito equivalente è semplificato ma corretto. I calcoli sono molto semplificati (oggi i calcoli li fanno i PC  e non serve semplificare troppo). L’impedenza di radiazione Rm viene calcolata per ka<<1 mentre l’espressione della velocità è valida per frequenze superiori alla risonanza fondamentale dell’altoparlante e per Rms trascurabile rispetto a jwMm. Ne segue che l’espressione ottenuta è valida per un intervallo di frequenze molto ristretto e per altoparlanti con risonanza bassa e fattore di merito meccanico elevato.  Per un woofer da 15” con SD= 900 cm2, ka=1 a 323 Hz e ka<<1 corrisponde a  frequenza almeno inferiori a 62 Hz. Siamo quindi in prossimità (o anche al di sotto) della risonanza dove l’impedenza meccanica non è approssimabile con la sola massa. Quindi l’espressione ottenuta da Borwick può essere valida per woofer di diametro relativamente piccolo (inferiore a 7”), con F0 bassa e Mms elevata mentre, per woofer oltre i 12 pollici di diametro nominale, potrebbe non essere valida a nessuna frequenza. L’espressione proposta non è sbagliata ma è si applica solo in casi particolari.

 

Da “Loudspeaker and Headphone Handbook” di J.Borwick- terza edizione – 2001

Derivazione dell’espressione identificata da K usata J. Borwick nel calcolo del rendimento..

Come si vede viene utilizzata l’espressione dell’impedenza di radiazione valida per ka <<1 (a =r  è il raggio del pistone).

 

Calcolo del rendimento (con meno semplificazioni)

 

Nota: Nel seguito si trascura l’effetto del riscaldamento di RE (resistenza dalla bobina). Per tenerne conto basta sostituire RE con RE(1+aDT). Si considera anche che l’altoparlante sia pilotato da un generatore con fattore di smorzamento infinito (Rg=0).  Il riscaldamento della bobina mobile può dimezzare il rendimento (compressione termica) e alterare in modo significativo alcuni parametri.

L’elesticità dell’all’atoparlante è tipicamente una “molla soffice” per cui la frequenza di risonanza disunisce all’aumentare dello spostamento. Questo fenomeno (tipicamente non lineare) non può essere inserito in un circuito lineare.

 

Partiamo dal classico modello elettro-meccanico-acustico di un altoparlante dinamico a diaframma piatto (pistone).  Il modello del pistone è valido finché la profondità del cono è piccola rispetto alla lunghezza d’onda. Per i dettagli si veda il glossario.

 

 

Profondità del diaframma

Frequenza corrispondente in Hz

Limite di validità in Hz

6 cm

5733

5733/8=716

5 cm

6880

860

4 cm

8600

1075

3 cm

11466

1433

2 cm

17200

2150

1 cm

34400

4300

 

 

Di norma il limite imposto dalla condizione  ka<<1 è inferiore al limite imposto dalla profondità del cono motivo per cui non è necessario tenere conto di quest’ultimo. Per esempio un woofer da 7” è profondo circa 2 centimetri e il modello “pistone piatto” è valido fino a oltre 2000 Hz mentre  ka=1 a circa 1000 Hz. Per i coni in carta c’è un altro limite dovuto all’effetto coincidenza che determina una rottura nella regione compresa tra 500 e 700 Hz  (dove in genere si trova anche la risonanza del rim). A conti fatti il modello semplificato non può essere esteso oltre i 500 Hz nemmeno per i woofer da 5”  (con cono in carta).  Per gli altoparlanti con il cono in alluminio (magari conoscendone il fattore di direttività) il modello può essere esteso un po’ di più.

 

Diametro nominale

SD cm2

ka=0.1

ka=1

 

Limiti di validità ka<<1

Per woofer di diametro decrescente.

Per avere l’espressione del rendimento che abbia  un senso bisogna che il limite di validità vanga esteso il più possibile.

 

 

5 pollici

80

108 Hz

1084 Hz

5 pollici (Scan)

95

100 Hz

1000 Hz

5 pollici (Seas)

104

95 Hz

951 Hz

7 pollici (Seas)

126

86 Hz

864  Hz

7 pollici (Scan)

134

85 Hz

851 Hz

7 pollici (Scan)

154

78 Hz

782 Hz

8 pollici

220

65 Hz

654 Hz

10 pollici

330

53 Hz

534 Hz

10 pollici

363

51 Hz

509 Hz

12 pollici

460

45 Hz

452 Hz

12 pollici

508

43 Hz

430 Hz

15 pollici

900

32 Hz

323 Hz

18 pollici

1134

29 Hz

288 Hz

 

 

Zma contiene una componete reattiva che equivale ad una massa. Tale massa appare in serie a Mms  e, essendo normalmente molto più piccola di Mms, di solito viene trascurata (ma con un errore che arriva al 10%). Anche la componente resistiva dell’impedenza di radiazione è piccola ma non può essere trascurata perché è la responsabile della radiazione della potenza acustica. La potenza acustica è quella dissipata sulla parte reale dell’impedenza di radiazione presente nel modello. Il modello proposto, mutatis mutandis, vale anche per un woofer in cassa chiusa: il carico dell’aria sulle due facce del diaframma, in tal caso, è diverso e si deve aggiungere l’elasticità del volume del cabinet e le relative perdite. Oltre a ciò si modifica anche l’impedenza di radiazione a causa delle dimensioni finite del pannello frontale (se se ne vuole tenere conto). Il rendimento complesso si calcola come rapporto tra la potenza elettrica in ingresso  (Eg)2/(Zes+Ze+Rg) e la potenza erogata sull’ equivalente elettrico dell’impedenza di radiazione (Ea)2/Z dove Z indica l’equivalente elettrico della impedenza specifica di radiazione. Per comodità usiamo la notazione di Dirac;

 

Pa = <Ea|Ea>|Z> = <H(jw)Eg|H(jw)Eg>|Z>   dove  Z= SD2 Zaa/(BL)2  (quadrato della velocità x impedenza di radiazione)

Eg  è una costante e può essere fattorizzata, per cui

Pa =   Eg2<H(jw)|H(jw)>|Z>  = Eg2 |H(jw)|2 |Z>   

Ne segue che Eg2 potrà essere semplificata. Anche (BL)2 è una costante e quindi  può essere “spostata” come più conveniente, in questo caso per trasformare una impedenza elettrica nel suo equivalente meccanico.   Otteniamo così l’espressione del rendimento complesso funzione complessa della frequenza: 

 

                  |Ea|2  SD2 Zaa /(BL)2     |H(jw)|2 SD2 Zaa

 Rendimento(jw) = ----- -------------- = ------------------

                  |Eg|2    1/(Zes+Ze)     Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa

 

(BL)2 è una costante ed è stato spostato al denominatore.

 

                               SD2 Zaa

 Rendimento(jw) = |H(jw)|2 ------------------

                  |Eg|2    Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa

 

considerando che |H(jw)|2 è un modulo (quindi reale) lo fattorizziamo quindi prensiamo le parti reali del numeratore e del denominatore e otteniamo il Rendimento:

 

 

                            RE[ SD2 Zaa]

 Rendimento(w) = |H(jw)|2 ------------------

                         RE[Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa]

 

Dove  (BL)2/(Zes+Ze) = (Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa) e H(jw) è la funzione di trasferimento della velocità dell’altoparlante.

Si noti  che, dimensionalmente, Rendimento(jw) è il rapporto di impedenze meccaniche moltiplicato per una funzione adimensionale e quindi è adimensionale (come deve essere).

 

Al tendere di SD a infinito, ovvero per superficie di radiazione infinita, il rendimento complesso tende a |H(jw)|2 che è il modulo quadro di una funzione di trasferimento normalizzata (la dimostrazione è triviale).  Anche |H(jw)|2 , per SD che tende a infinto, tende a uno infatti;

 

          Zes     Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa           (BL2/Ze)

 H(jw) = ------ = ------------------  -> 1+ -----------   

         Zes+Ze      Zm + SD2Zaa             Zm + SD2Zaa

                         

per SD che tende a infinito, il secondo addendo tende a zero. Quindi, per SD che tende a infinto, il rendimento tende ma non supera il 100%. H(jw) tende a uno anche quando Ze tende a zero ovvero quando l’altoparlante è eccitato da una corrente infinita.

 

Applicando questo risultato ad una numero N di altoparlanti collegati in serie, si vede che il rendimento, per N piccolo, cresce quasi come N mentre, per N  grande,  tende asintoticamente a |H(jw)|2 (perché la superficie tende a infinito).

 

Rendimento complesso

Per N piccolo

Per N grande al denominatore resta solo

N SD2Zaa

  

  |H(jw)|2 N2 SD2 Zaa

----------------------

NZm+N(BL2/Ze)+N2 SD2Zaa

 

 |H(jw)|2 N SD2 Zaa

-------------------    Zm+(BL2/Ze)+N SD2Zaa

 

 |H(jw)|2 N SD2 Zaa

------------------=|H(jw)|2

     N SD2Zaa

 

Questo risultato rispetta il Secondo Principio della Termodinamica  e fornisce una espressione del rendimento consistente. Si noti che, per N grande, il rendimento diventa una funzione reale.

Il rendimento che interessa calcolare, tuttavia, è il rendimento reale per una sorgente che è dato dal rapporto delle parti reali della potenza acustica e della potenza elettrica. (Re[.] indica la parte reale).

 

                 Re[Pa]                  RE[SD2 Zaa]

 Rendimento(w) = ------- = |H(jw)|2 ------------------

                  Re[Pe]            Re[Zm+(BL2/Ze)+SD2Zaa]

 

Confrontiamo la parte reale di un rapporto con il rapporto delle parti reali:

 

    a+ib        aA + bB + i(aB+Ab)     aA + bB     

Re[------] = Re[------------------] =  -------

    A+iB             A2+B2                A2+B2

 

Re[a+1b]    a

-------- = ---

Re[A+iB]    A

 

Se  B=b=0 le espressioni coincidono, ma rielaboriamo la parte reale del rendimento complesso:

 

aA + bB      Aa   1 +(bB/aA)      a   1 + tg(a)tg(b)

-------- =  ---  ------------  = --- ---------------

 A2+B2        A2   1 + (B2/A2)      A    1 + tg2(b)

 

Con evidente significato dei simboli. Ne segue che il rendimento complesso tende al rendimento reale per

-          b =0  (si veda Available Power Efficiency  di Beranek)

-          a e b sono piccoli

-          a=b

 

Re[A/B] è diverso da Re[A]/Re[B] e il rendimento (in generale) non coincide con la parte reale del rendimento complesso. Non resta che fare i calcoli.

Come si è visto, se non si usano troppe semplificazioni, si raggiunge un risultato in accordo con i principi della meccanica e della termodinamica. Ora, su una espressione consistente del rendimento, si possono fare tutte le semplificazioni che si desiderano:

 

-          se interessa il rendimento a bassa frequenza si può trascurare la componente reattiva dell’impedenza della bobina mobile  e inglobare (BL)2/RE in Zm.  

-          Se la superficie di radiazione SD non è troppo grande si può trascurate SD2Zaa al denominatore

-          Se si cerca una soluzione rapida si trascurano l’elasticità e le perdite resistive dell’altoparlante

 

In questo modo si ottengono i risultati riportati in letteratura che, è bene ripeterlo, non sono “sbagliati” ma possono indurre all’errore perché non sono debitamente descritte tutte le semplificazioni apportate e le loro conseguenze. In particolare, come visto, risultano poco accurate proprio per quegli altoparlanti di grande diametro che si vorrebbero più efficienti possibile. Altre considerazioni rilevat si trovano nel supplemento della parte seconda dove è spiegato quanto sia importante tenere conto dello spettro della potenza elettrica dello stimolo applicato.

Calcolo del rendimento meccanico e del rendimento acustico (separatamente)

Nel seguito si calcolano, separatamente, il rendimento meccanico ed il rendimento acustico entrambe in forma complessa.  Si parte dalle definizioni.

 

Potenza meccanica = Lavoro / tempo = forza x velox         (velox=velocità)

Potenza elettrica = Tensione x Corrente = vin iin

 

Forza, velocità, tensione e corrente sono tutte funzioni della variabile complessa jw. Per l’ampiezza della tensione e della corrente si usano i valori efficaci (Beranek, per esempio, utilizza la tensione di picco). La figura con i circuiti equivalenti e poco più sopra. Riassumiamo le ipotesi che stanno alla base di questo modello:

 

-          la velocità dell’aria sul diaframma è pari la velocità del diaframma

-          la corrente è quella che scorre nella bobina mobile dell’altoparlante

-          l’altoparlante possiede un diaframma piatto perfettamente rigido e perfettamente solidale alla bobina mobile  (se è un cono la profondità del cono è piccola rispetto alla lunghezza d’onda)

-          l’altoparlante è rappresentato con un modello a parametri concentrati

-          RE non cambia con la temperatura

-          l’altoparlante è perfettamente lineare (vale il principio di sovrapposizione degli effetti)

-          l’altoparlante è montato su una parete infinitamente estesa, infinitamente rigida e di spessore trascurabile.

-          L’altoparlante è pilotato da un generatore di tensione ideale (Rg=0)

 

Nessuna ipotesi viene fatta sulla impedenza di radiazione (la potenza viene calcolata in campo lontano). L’analisi è limitata al campo di frequenze dove le ipotesi sono rispettate.

 

 

Rendimento complesso

elettro

meccanic0

 

  (Potenza_meccanica)

  -----------------------------

   (Potenza_elettrica)

= (forza  velox) / (tensione  corrente) =

= (BLiin  velox) / ( iin  vin )  = (BL  velox) /  vin 

 

dove  BLvelox= vin Zes/(Ze+Zes)   per Rg=0

velox = velocità dell’apparato mobile

Ze+Zes=  Zele  = impedenza elettrica dell’altoparlante.

Si noti che il denominatore è misurabile direttamente.

 

Zes

--------------

Ze+Zes

 

 

 

Rendimento

complesso

meccano

acustica

 

    (Potenza_acustica)

 -----------------------------

 (Potenza_meccanica)

= p velox / (forza  velox) =

= Re[Za] velox2  / (forza  velox) = Re[Z] velox / forza

Re[Za] = parte reale dell’equivalente meccanico dell’impedenza di radiazione

Zm = forza / velox  impedenza  meccanica

Zm = Zmec + Za

p = pressione

   

Re[Za]

------------------

Zmec+ Za

 

Za è l’equivalente meccanico dell’impedenza di radiazione.  Queste espressioni, mutatis mutandis, può valere per l’altoparlante su schermo infinito, alla fine di un lungo tubo o per l’altoparlante in cassa chiusa. Non può valere per i sistemi a inversione (reflex e linee di trasmissione) perché ciò richiede la somma di almeno due contributi (per es. attivo e condotto del reflex).

 

Alla fine, il rendimento complesso dell’altoparlante, nelle ipotesi dette, è dato da

 

                         Re[Za]    Zes

      Rendimento(jw) = --------- --------   (1)

                       (Zmec+Za) (Ze+Zes)

 

Nota: Zmec + Za = (BL)2/Zes. Qui SD2 è già contenuto in Za

 

L’unica grandezza trascurata (perché interessa il rendimento dell’altoparlante e non di amplificatore + altoparlante) è Rg che è stata posta a zero. Nelle effettive condizioni d’uso Rg può essere trascurata quando il fattore di smorzamento supera (per esempio) 100.

 

 

Variazione di Rg

 

Rg=0 -> Fattore di smorzamento infinito

Rg=2 ->Fattore di smorzamento = 4

Rg=4 ->Fattore di smorzamento = 2

Rg=8 ->Fattore di smorzamento = 1

Rg=16 ->Fattore di smorzamento = 0.5

 

La presenza di Rg provoca una diminuzione della  efficienza  che dipende dalla frequenza.

 

L’ espressione (1) non è la più “compatta” ma è facilmente leggibile.anche nel significato fisico. Notiamo che l’espressione (1) è consistente per ogni valore delle grandezze in essa presenti.

Dato che i denominatori sono sempre maggiori dei numeratori il rendimento complesso risulta minore al 100% in accordo con il Secondo Principio della Termodinamica.

 

Il rapporto Zes/(Ze+Zes+Rg) è massimo (e vale 1) solo per Ze=Rg=0. Questo significa che, per aumentare il rendimento meccanico, si deve ridurre Ze (impedenza elettrica della bobina mobile) e/o Rg. Vanno quindi preferiti gli amplificatori con fattore di smorzamento elevato (Rg molto piccolo). Ciò indica anche che l’altoparlante è un dispositivo sensibile alla corrente.

Il termine Re[Za]/(Zmec+Za)  indica che, per ottenere un altoparlante efficiente, l’ impedenza meccanica deve tendere a Za (condizione di massimo trasferimento di energia). Ne seguono le considerazioni già fatte sul massimo rendimento.

 

Per diminuire Zmec  deve diminuire la densità superficiale dell’altoparlante. Il limite pratico per la densità superficiale di un woofer vale circa  0.045 grammi per centimetro quadro.  Si possono ottenere woofer con buone caratteristiche con densità superficiale di 0.085. Sotto tale limite le cose si complicano. Al contrario è facile realizzare ottimi altoparlanti con densità superficiale a partire da 0.1 in su (ma il rendimento è basso).

 

 

Woofer in cassa chiusa:

Raddoppiando la massa dinamica del woofer, il rendimento diminuisce ma aumenta l’estensione verso le basse frequenze (oppure si può ridurre il volume e mantenere la stessa estensione verso il basso).

  

Il rendimento va  valutato in funzione della massima potenza elettrica sopportabile. Se un woofer sopporta 100 Watt con rendimento dello 0.5%, produce lo stesso SPL di un woofer che sopporta 10 Watt con rendimento del 5%. Resta da vedere se il woofer “leggero” ha un Xmax che gli consente di raggiungere gli stessi valori di SPL del woofer “pesante”. Oggi un woofer professionale arriva a sopportare oltre 1400 Watt (IEC) e oltre 4000 Watt continui in regime musicale. (con un rendimento del 2%, produrrebbe 28 Watt acustici ovvero 123 dB a 1 metro su spazio.

 

L’efficienza elettro-meccanica dell’altoparlante dipende dal carico (dipolo, cassa chiusa, reflex, linea di trasmissione…). Il carico altera la velocità dell’apparato mobile alle frequenze più basse (nell’intorno della risonanza del sistema) e via via sempre meno al crescere della frequenza. Nella realtà anche Mms può ridursi al crescere della frequenza a causa dei break up della membrana mentre, contemporaneamente, Il fattore di direttività aumenta anche a causa della forma conica del diaframma. Nel caso ideale del pistone rigido Mms non cambia con la frequenza. Il rendimento comunque dipende dalla frequenza.

Dato che ad ogni dimezzamento della frequenza riprodotta, per mantenere lo stesso SPL, lo spostamento volumetrico deve quadruplicare, per produrre pressioni elevate a bassa frequenza servono woofer molto grandi capaci di Xmax molto ampi (oggi si arriva anche a oltre i 50 mm di escursione picco-picco ma una bobina pesante limita il rendimento).

 

Calcolo del rendimento (alternativo)

Senza troppe spiegazioni si consideri la figura che segue:

 

Rendimento di più trasformazioni in cascata

Come si è visto calcolando separatamente il rendimento meccanico ed acustico, il rendimento di più trasformazioni in cascata si ottiene moltiplicando tra loro i diversi rendimenti (che non devono essere espressi in percentuale ma riferiti all’unità). In tal modo applicando due trasformazioni successive, una con rendimento del 50% e uno a con rendimento dell’80%, si ottiene 0.5x0.8=0.4 ovvero 40%.

In sostanza il rendimento sarà sempre minore del rendimento della trasformazione con il rendimento più basso. Questo ragionamento si applica anche quando, davanti ad un altoparlante, viene posta una tromba: il rendimento dell’altoparlante va moltiplicato per il rendimento della tromba. Nella realtà quando si collegano dei dispositivi in serie si osservano delle “perdite di inserzione” che, non a caso, si chiamano perdite. Una tromba, comunque sia realizzata, è un dispositivo passivo e come tale non può aumentare la potenza acustica che entra nella sua bocca. Il rendimento ideale di una tromba, priva di perdite di inserzione e perfettamente adattata alla gola (alla bocca una tromba finita non può essere adattata a tutte le frequenze), vale meno di uno (meno del 100%). Il rendimento asintotico dei sistemi a tromba è quindi immediatamente ottenuto.

 

Perdite di inserzione (da Wikipedia)

In elettronica e nelle telecomunicazioni, l'insertion loss (perdita di inserzione) è la perdita di potenza di un segnale dovuta all'inserimento di un dispositivo all'interno di una linea di trasmissione o in una fibra ottica ed è solitamente espressa in decibel (dB).

Se PT è la potenza trasmessa sul carico prima dell'attenuazione e PR è la potenza ricevuta dal carico dopo l'attenuazione, allora l'insertion loss in dB è data da,

Nota: una tromba è una linea di trasmissione

 

La natura è fatta in un certo modo.

 

Segue la Parte Terza: La misura della sensibilità