Sensibilità della sfera pulsante

MB

 

Il generale l’Efficienza o Rendimento, di un qualsiasi macchina che produca lavoro, è il rapporto tra la potenza attiva prodotta e la potenza attiva consumata per ottenerla. Il rendimento è sempre minore di 1, se espresso in parti per cento ed è sempre minore del 100%. Le “macchine” con il rendimento più alto sono i trasformatori elettrici (rendimento anche superiore 99%).

Se esistesse una macchina con rendimento del 100% si realizzerebbe il “moto perpetuo”. Se il rendimento potesse essere maggiore del 100% si realizzerebbe la creazione di energia dal nulla. Il Secondo Principio della Termodinamica stabilisce che il rendimento non può raggiungere il 100%.

 

Consideriamo un generico sistema dotato di un ingresso e di una uscita. La potenza erogata all’uscita non può essere maggiore della potenza assorbita dall’ingresso.

Consideriamo un amplificatore con un ingresso e di una uscita. All’ingresso è collegato un lettore CD e all’uscita è collegato un altoparlante. La potenza erogata all’uscita è molto maggiore della potenza assorbita all’ingresso e infatti l’amplificatore, per funzionare deve essere collegato alla rete elettrica: deve essere alimentato. A ben guardare, gli ingressi dell’amplificatore sono due: al primo è collegato il lettore CD ed al secondo è collegata la rete elettrica. L’amplificatore assorbe corrente dalla rete elettrica e la usa per aumentare la potenza del segnale trasferito all’altoparlante.

Se non teniamo conto del fatto che l’amplificatore è alimentato sembra che “produca potenza”. Tutto diventa chiaro quando arriva la bolletta della luce da pagare.

 

Vediamo come esprimere Il rendimento di un generico dispositivo elettroacustico. La potenza acustica irradiata non dipende dalla distanza dalla sorgente quindi possiamo scegliere la distanza più “comoda”. La distanza più comoda è quella alla quale l’impedenza di radiazione è diventata costante e pari a r0c.

Quindi Si prende la sorgente, la si trasposta in campo libero (in una camera anecoica) si fissa una distanza opportuna Rsfera e si traccia una sfera ideale con al centro la sorgente e raggio Rsfera.

 

L’impedenza specifica di radiazione di un fronte d’onda sferico vale 

 

                                jkr            (kr)2          kr

Impedenza di radiazione = r0c --------- = r0c(---------- + j --------)

                               (1+jkr)        1+ (kr)2        1+ (kr)2

 

e diventa pari a r0c quando kr >>1 quindi a frequenze molto alte o a distanza r molto grande. Nel case del calcolo della potenza a custica si sceglie r molto grande.

 

 

Fissate queste condizioni, il rendimento si esprime come segue:

 

 

Il numeratore è la parte reale del flusso di p2 attraverso la superficie della sfera. La distanza dalla sorgente viene scelta in modo che l’impedenza di radiazione sia costante a pari r0c il che implica che la velocità e la pressione siano in fase. Ne segue che p2 è reale e indipendente dagli angoli quindi si può portare fuori dall’integrale.

 

A questo punto basta integrare la superficie della sfera che vale:

 

 

Ne segue che, per una qualsiasi sorgente omnidirezionale di impedenza elettrica Zaltop, il rendimento vale:

 

 

Questa espressione, per esempio, vale per qualsiasi altoparlante dinamico in cassa chiusa finché la radiazione è isotropa (a frequenza opportunamente bassa). Non è difficile normalizzare i valori di pressione alla distanza di un metro. Zaltop = Zes + Ze = Zes + Re+jwLe  dove Re è la resistenza della bobina mobile e Le la sua induttanza. Entrambi dipendono dalla frequenza. Questa è quindi l’espressione del rendimento per una sorgente omnidirezionale di impedenza elettrica pari a Zaltop. Sia Zaltop che p dipendono dalla frequenza e quindi il rendimento dipende dalla frequenza. Quando si legge un valore di rendimento ci si deve chiedere a quale frequenza si riferisca.

 

Riprendiamo l’espressione precedente e consideriamo una sorgente omnidirezionale (sfera pulsante) ideale con rendimento del 100% (pari a 1) e consideriamo di eseguire la misura della potenza acustica irradiata ad un metro di distanza:

 

 

Alla fine troviamo il valore dell’SPL prodotto da una sfera pulsante ideale che riversa tutta la potenza acustica nell’aria che la circonda quando riceve un Watt elettrico. Essendo il rendimento pari a 1 significa che questa sfera assorbe un Watt elettrico, emette un Watt acustico e produce, a un metro di distanza,  109.2 dB SPL.

Tale valore dipende dal prodotto r0c quindi può variare di qualche decimale con le condizioni atmosferiche. Di solito si arrotonda a 109 dB. Questo non significa che una sorgente non possa irradiare più di 109 dB ma significa che lo farà su uno spazio ristretto (con DI>0) e/o consumando più di un Watt elettrico.

 

 

 

 

Detto Q il fattore di direttività della sorgente e accettando l’ipotesi di Molley si può dimostrare che:

 

 

Quindi, a parità di SPL prodotto in asse, il rendimento diminuisce all’aumentare della direttività della sorgente (ovvero, in generale, all’aumentare della frequenza).

Esprimere la potenza elettrica in funzione della tensione o della corrente non cambia nulla. Sarebbe più comodo usare la tensione perché le misure sugli altoparlanti vengono fatte quasi tutte fissando la tensione dei segnali di prova.

Esprimendo la potenza elettrica in funzione della tensione,  tenuto conto che la tensione è una funzione reale, si ottiene

 

 

Dato che stiamo studiando il comportamento delle sorgenti in regime lineare, sarebbe opportuno eliminale la tensione di pilotaggio dalla espressione del rendimento. Questo si può fare utilizzando la velocità in luogo della pressione e considerando che la tensione è pari al prodotto BL per la velocità dell’apparato mobile. Dato che pressione e velocità sono in fase (per le scelte operate precedentemente) tale sostituzione non richiede alcuna ulteriore ipotesi (impedenza elettrica e velocità dell’apparato mobile dipendono dalla frequenza e non dagli angoli o dalla distanza). L’espressione del rendimento si complica e vi appare ora anche Ra che l’impedenza di radiazione della sorgente.  Dato che si devono considerare le parti reali non è possibile semplificare Zaltop. Lo si potrebbe fare introducendo il “rendimento complesso”.

Nella espressione qui sopra non compare la tensione che pilota la sorgente e la distanza dalla sorgente. Appaiono il fattore di forza BL (perché abbiamo considerato un altoparlante dinamico) e Ra che è l’impedenza di radiazione dello specifico altoparlante in uso. Appare evidente che, se si trascura la componente induttiva della bobina mobile l’espressione si semplifica.