IMPEDENZE MECCANICHE E ACUSTICHE.

RISONATORI

Impedenze meccaniche. Analogia elettromeccanica

4 luglio 2016

 

Le analogie elettromeccaniche sono la conseguenza dell’isomorfismo che sussiste tra lo spazio delle grandezze elettriche e lo spazio delle grandezze meccaniche.

In letteratura  (Beranek, Olson; ecc. ma anche in testi contemporanei) le analogie vengono presentate in un modo euristico ormai arcaico, come dovute alla corrispondenza tra le equazioni che descrivono i circuiti meccanici ed elettrici. In realtà c’è molto di più. In generale si può definire un elemento percorso da un flusso (per es. corrente) e ai cui capi si misura una caduta (per es. tensione).

Il rapporto tra caduta e tensione è detto impedenza Z=(caduta)/(flusso).  Ecc. ecc. ecc.

 

De Soer, nei “Fondamenti di Teoria dei Circuiti”, introduce un sistema generalizzato che comprende elementi (tempo invarianti, bipolari e lineari) caratterizzati da un flusso (che li attraversa) e da una caduta (ai loro capi).

Gli elementi sono di due tipi:

 

passivi

flusso e caduta in versi opposti

 

attivi

flusso e caduta nello stesso verso

Indipendenti

comandati

 

I dispositivi attivi sono, a loro volta, di due tipi: indipendenti e comandati. I generatori comandati sono, a tutti gli effetti, dispositivi la cui caratteristica dipende dal tempo. Infatti la tempo_invarianza e la tempo_dipendenza sono due cose molto diverse.

 

Tempo invriante

Non comprime e non espande gli intervalli di tempo. Tutti i sistemi fisicamente realizzabili sono causali e tempo invarienti. Quindi rispettano l’anisotropia e l’omogeneità del tempo.

Tempo dipendente

Dipende dal tempo. Per esempio y=x(t)

 

Un circuito costituito da elementi la cui caratteristica dipende dal tempo è ancora lineare. 

 

 

Quando la caduta è una tensione ed il flusso è una corrente, il grafo lineare orientato è isomorfo ad una rete elettrica in regime di piccoli segnali.

 

Quando la caduta è una pressione ed il flusso è una velocità, il grafo lineare orientato è isomorfo ad un sistema acustico.

 

La caduta è proporzionale al flusso e tale proporzionalità, sempre in generale, è rappresentata con una funzione complessa (razionale) della frequenza. In pratica vale la Legge generalizzata di Ohm. Ne segue anche che la causa è la caduta mentre l’effetto è il flusso. In effetti la differenza di tensione ai capi di un resistore (caduta di tensione) è la causa mentre la corrente che vi scorre (flusso di cariche) è l’effetto.

In generale il prodotto del flusso per la caduta rappresenta una potenza mentre il rapporto tra la caduta ed il flusso rappresenta una impedenza. In questo modo otteniamo la definizione generalizzata di potenza e di impedenza

 

V = RI => Legge di Ohm  (Ohm)

Allo stesso modo, se gli elementi sono di natura meccanica,

F = ma => Secondo Principio della Meccanica (Newton)

La forza è la causa mentre l’accelerazione è l’effetto. Tutti gli elementi, come detto, sono tempo-invarianti  (rispettano le ipotesi alla base della Reatività e non alterano il tempo). Gli elementi possono essere dipendenti  dal tempo (vds generatori comandati di tensione e corrente).

Valgono il principio di sovrapposizione e le leggi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie. Con questi elementi si costruiscono i grafi lineari orientati.

 

I grafi lineari orientati sono di grande aiuto nella comprensione delle analogie (elettro-meccaniche, elettro acustiche, ecc.) perché costringono a passare attraverso gli isomorfismi (che è l’unico approccio corretto).

In sostanza conoscendo i grafi lineari orientati si possono affrontare una quantità di problemi di natura diversa ma regolati dagli stessi principi.  In più De Soer descrive come progettare un sistema (anche elettro-acustico) con caratteristiche prevedibili (ma questa è un’altra storia).

 

Analogie

 

Lo studio delle analogie è compreso nelle “parti speciali” per fisici elettronici del programma di “Metodi Matematici della Fisica” (Istituto G. Galilei dell’Università di Padova). Le analogie si fondano sugli isomorfismi.

 

Diamo prima la definizione di sistema:

 

Un sistema è un insieme di parti in relazioni tra loro

oppure

Un sistema è un insieme dotato di struttura

 

L’insieme degli elementi è detto insieme di supporto, l’insieme delle relazioni è detto “struttura”. A rigore le relazioni dovrebbero chiamarsi “operazioni” (relazioni tra elementi dello stesso insieme).

 

Diamo ora la definizione di isomorfismo

 

L’isomorfismo è una particolare corrispondenza tra sistemi che coinvolge sia gli elementi degli insiemi di supporto che le strutture. In particolare due sistemi si dicono isomorfi se:

-          sussiste corrispondenza biunivoca tra gli elementi dei due insiemi di supporto

-          sussiste corrispondenza biunivoca tra le due strutture

-          sussiste corrispondenza biunivoca tra i risultati di operazioni corrispondenti tra elementi corrispondenti.

 

Quando due sistemi sono isomorfi si può scegliere di operare indifferentemente sull’uno o sull’altro (quindi si sceglie il più comodo). L’isomorfismo è indipendente dalla particolare natura degli enti degli insiemi di supporto.

Ne segue che la struttura è più importante dell’insieme di supporto.

 

Per rimarcare l’importanza degli isomorfismi ricordiamo che se possiamo contare le capre con i numeri naturali è perché l’insieme delle capre (sul quale si impone la struttura di gruppoide commutativo) è isomorfo all’insieme dei numeri naturali sul quale si impone la medesima struttura. Se possiamo scrivere e rileggere quello che abbiamo scritto è perché il “sistema linguaggio” è isomorfo al “sistema scrittura” (la struttura è quella di monoide non commutativo). E si potrebbe continuare fino a dimostrare che la conoscenza è il risultato di due isomorfismi (tra la realtà e la rappresentazione della realtà e tra la rappresentazione della realtà e la configurazione sinaptica che si realizza fisicamente nel cervello).

 

Purtroppo, dal 1940 (quando Olson presentò le analogie nel suo primo libro) ad oggi, esse vengono ancora proposte allo stesso modo (euristicamente). Si usano il calcolo differenzia, la matematica complessa, le trasformazioni di  Fourier e di Hilbert e non si citano gli isomorfismi che renderebbero infinitamente più semplice la comprensione dei fondamenti di tutta la scienza oltre che dei processi cognitivi.  Tra l’altro la Teoria degli Insiemi è presente nei programmi ministeriali della scuola italiana dagli anni ’60 del XX secolo (in teoria tutti la dovrebbero conoscere).

Gli isomorfismi sembrano essere estranei alla cultura anglosassone cui tutti si sono pedissequamente allineati. Con questo non si vuole dire che chi non conosce l’insiemistica non può comprendere l’elettroacustica ma solo che farà più fatica correndo anche il rischio di prendere qualche bella cantonata (vedasi il calcolo del rendimento delle trombe).  Un altro principio fondamentale ma  poco citato e per nulla utilizzato è il Secondo Principio della Termodinamica con le sue conseguenze (vds calcolo del rendimento delle trombe). 

 

 

Sistema Meccanico

Sistema Elettrico

Analogia  Tensione-forza

Analogia corrente-forza

(analogia fisica)

Principio d’Alembert (condizione di equilibrio, lavori virtuali)

Legge di Kirchhoff alle maglie

Legge di Kirchhoff alle correnti

Numeri di Gradi di libertà

Numero di Maglie

Numero di Nodi

Forza

Tensione (potenziale)

Corrente (forza)

Massa

Induttanza

Capacità

Spostamento

Carica elettrica

Flusso f=S vdt

Velocità

Corrente (nella maglia)

Tensione v al nodo

Smorzamento

Resistenza

Conduttanza = 1/R

Molla

1/Capacità (Complicanza)

1/induttanza = 1/L

Elemento di accoppiamento

Elemento comune a due maglie

Elemento tra due nodi

Impedenza = forza/velocità

Conduttanza=Corrente/Tensione

Impedenza = Tensione/Corrente

Forza applicata

Interruttore chiuso

Interruttore chiuso

leva

trasformatore

trasformatore

 

Circuito serie

Circuito parallelo (*)

(*) Se le forze agiscono in serie gli elementi sono in parallelo, se le forze agiscono in parallelo gli elementi sono in serie.

 

In elettronica un circuito duale di ottiene scambiando la tensione con la corrente. Le due rappresentazioni duali contengon esattamente le stesse informazioni (anche se una può essere giudicata più intuitiva dell’altra).

 

Leggi di Kirchhoff (per circuiti a parametri concentrati)

Ai nodi

In regime stazionario la somma vettoriale delle correnti che confluiscono in un nodo è nulla (Conservazione della carica e Teorema di Gauss)

in sostanza, in regime stazionario, non c’è accumulo di carica nei nodi.

Se alla corrente si sostituisce la forza si ottiene la condizione di equilibrio.

Alle maglie

In regime stazionario, la somma vettoriale delle cadute di tensione lungo una maglia è nulla

(la circolazione del campo elettrico è nulla

– conservazione dell’energia (infatti moltiplicando per q si ottiene che l’integrale lungo un percorso chiuso del prodotto forza per spostamento è nullo)

 

Ne segue che, anche nell’ambito delle analogie, le leggi valgono sicuramente per circuiti a parametri concentrati e in regime stazionario (che non è poco). Con le opportune operazioni l’isomorfismo si estende alle linee di trasmissione (sistemi a parametri distribuiti).

 

 

Vedere i singoli elementi acustici (tubo, volume, resistenza acustica, raccordo, tromba, ecc.)