Misure, errori e incertezze di misura
- (tratto da ``Le basi del metodo sperimentale'') -

Di G. D'Agostini
Dipartimento di Fisica, Università ``La Sapienza'', Roma

 

 

Introduzione

In questo capitolo vengono introdotti concetti generali e definizioni di interesse dei processi di misura, senza la minima pretesa di offrire un minitrattato di metrologia. L'intento è semplicemente di chiarire il linguaggio per poi affrontare la parte più interessante e specifica del corso, ovvero quella che dai numeri osservati sugli strumenti permette di accrescere il grado di conoscenza sulle grandezze e sui fenomeni sotto studio.

Premettiamo una nota per quanto riguarda la terminologia adottata. Come per tutti i linguaggi, anche quello scientifico è da considerarsi materia viva in continua evoluzione. Anch'esso ha i suoi gerghi e a volte addirittura delle ambiguità. In questo testo si è cercato di seguire il più possibile le raccomandazione delle organizzazioni che sono istituzionalmente predisposte a far ordine in tale materia. L'organizzazione più autorevole a livello mondiale è l'ISO (Organizzazione Internazionale per la Standardizzazione, con sede a Ginevra). Essa ha pubblicato recentemente una ``Guida all'espressione dell'incertezza di misura'' e un vocabolario di termini di metrologia con l'intento mettere un po' di ordine nella materia. Altra organizzazione molto influente è quella che cura le norme DIN (Norme per l'Industria Tedesca). Queste norme controllano oramai le specifiche di quasi tutti i prodotti che circolano in Europa e nel Mondo, dalla vetreria di laboratorio di chimica alla qualità del calcestruzzo, dal formato della carta per fotocopie (quello più comune si chiama per l'appunto DIN A4) agli elettrodomestici e alla ergonometria delle autovetture. Nel nostro paese l'ente che si occupa di standardizzazione è l'UNI (Ente Italiano per l'Unificazione), partner italiano dell'ISO.

 

Grandezze e unità di misura

Ricordiamo innanzitutto che per grandezza (misurabile) si intende ``un attributo di un fenomeno, di un corpo o di una sostanza che può essere distinto qualitativamente e determinato quantitativamente''. Il termine è utilizzato sia in senso generale (lunghezza, tempo, massa, resistenza elettrica, concentrazione in quantità di materia, etc.) sia in senso particolare (lunghezza di una barretta di acciaio, massa di un pianeta, concentrazione in quantità di materia di etanolo in un campione di vino, etc.). Le grandezze sono dette della stessa natura, o omogenee, se è possibile classificarle l'una rispetto all'altra in ordine crescente o decrescente. Grandezze della stessa natura possono essere raggruppate in categorie di grandezze, ad esempio: lavoro, calore, energia; diametro, spessore, lunghezza d'onda.

Un insieme di grandezze, intese nel senso generale, fra le quali esistono delle relazioni definite costituiscono un sistema di grandezze. In esso si definiscono grandezze di base quelle che sono convenzionalmente accettate come funzionalmente indipendenti le une dalle altre. Ad esempio le grandezze lunghezza, massa e tempo sono prese generalmente come grandezze di base della meccanica. La tabella 8.1 mostra la lista completa delle sette grandezze di base del Sistema Internazionale (SI).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tabella: Grandezze di base del Sistema Internazionale.

Grandezza

Dimensione

Unità di base SI

Nome

Simbolo

a)

b)

Nome

Simbolo

lunghezza

l

dim l

L

metro

m

massa

m

dim m

M

chilogrammo

kg

tempo

t

dim t

T

secondo

s

corrente elettrica

I

dim I

I

ampere

A

temp. termodinamica

T

dim T

$ \Theta$

kelvin

K

quantità di materia

n

dim n

N

mole

mol

intensità luminosa

I$ _v$

dim I$ _v$

J

candela

cd


Una grandezza derivata è definita, in un certo sistema, come funzione delle grandezze di base. Ad esempio, nel sistema SI la velocità è una grandezza derivata definita come il rapporto fra lunghezza e tempo.

La dimensione di una grandezza è una espressione che rappresenta una grandezza di un sistema come prodotto di potenze di fattori dati dalle grandezze di base di quel sistema. Ad esempio le grandezze di base della meccanica nel sistema SI sono indicate con L, M e T. Ne segue che le dimensioni della velocità e della forza sono rispettivamente LT$ ^{-1}$ e LMT$ ^{-2}$. Un altro modo di scrivere le dimensioni, indicata con a) nella tabella 8.1, è mediante il simbolo della grandezza stessa preceduto da ``dim''. Secondo questa convenzione le dimensioni di velocità e forza vanno scritte come: dim v = dim (lt$ ^{-1}$) e dim F = dim (lmt$ ^{-2}$). A seconda della convenzione usata la dimensione della generica grandezza $ G$può essere scritta nei due modi:

 

dim $\displaystyle G$

$\displaystyle =$

dim $\displaystyle (l^\alpha
m^\beta
t^\gamma
I^\delta
T^\epsilon
n^\zeta
I_v^\eta)\,;$

(8.1)

dim $\displaystyle G$

$\displaystyle =$

L$\displaystyle ^\alpha$   M$\displaystyle ^\beta$   T$\displaystyle ^\gamma$   I$\displaystyle ^\delta$   $\displaystyle \mbox{\sf$\Theta$}$$\displaystyle ^\epsilon$   N$\displaystyle ^\zeta$   J$\displaystyle ^\eta\,.$

(8.2)


Una grandezza è adimensionale se nell'espressione della dimensione si riducono a zero tutti gli esponenti delle dimensioni delle grandezze di base. Ad esempio, sono grandezze grandezze adimensionali: il coefficiente di dilatazione termica; il coefficiente di attrito; la suscettibilità elettrica; l'umidità relativa; l'angolo solido; l'indice di rifrazione. Con unità (di misura) si intende una particolare quantità, definita e adottata per convenzione, con cui si confrontano altre grandezze delle stessa natura per esprimerle quantitativamente come rapporto rispetto a questa grandezza. Alle unità di misura vengono assegnati per convenzione dei nomi e dei simboli.

Le unità di misura delle grandezze di base e delle grandezze derivate sono chiamate rispettivamente unità (di misura) di base e unità derivate. Le unità di base del sistema SI sono mostrate in tabella 8.1. La tabella 8.2 mostra alcune grandezze derivate del SI che hanno nomi propri.

 

 

 

 

 

 

Tabella: Grandezze derivate del Sistema Internazionale con nomi propri.

Grandezza

Dimensioni

Unità derivate SI

 

 

Nome

Simbolo

 

 

 

(Relazione)

angolo piano

-

radiante

rad

 

 

 

( $ 1\,$   rad$ = 1\,$   m/m)

angolo solido

-

steradiante

sr

 

 

 

( $ 1\,$   sr$ = 1\,$   m$ ^2/$m$ ^2$)

frequenza

T$ ^{-1}$

hertz

Hz

 

 

 

( $ 1\,$   Hz$ = 1\,$s$ ^{-1}$)

attività

T$ ^{-1}$

becquerel

Bq

 

 

 

( $ 1\,$   Bq$ = 1\,$s$ ^{-1}$)

forza

MLT$ ^{-2}$

newton

N

 

 

 

( $ 1\,$   N$ = 1\,$kg$ \cdot$m/s$ ^2$)

pressione

M\L$ ^{-1}$T$ ^{-2}$

pascal

Pa

 

 

 

( $ 1\,$   Pa$ = 1\,$N/m$ ^2$)

energia

ML$ ^{2}$T$ ^{-2}$

joule

J

 

 

 

( $ 1\,$   J$ = 1\,$N$ \cdot$m)

 

 

 

$ = 1\,$W$ \cdot$s

potenza

ML$ ^{2}$T$ ^{-3}$

watt

W

 

 

 

( $ 1\,$   W$ = 1\,$J/s)

dose equivalente

L$ ^{2}$T$ ^{-2}$

sievert

Sv

 

 

 

( $ 1\,$   Sv$ = 1\,$J/kg)

dose in energia

L$ ^{2}$T$ ^{-2}$

gray

Gy

 

 

 

( $ 1\,$   Gy$ = 1\,$J/kg)

carica elettrica

TI

coulomb

C

 

 

 

( $ 1\,$   Gy$ = 1\,$A$ \cdot$s)

differenza di

ML$ ^{2}$T$ ^{-3}$I$ ^{-1}$

volt

V

potenziale

 

 

( $ 1\,$   V$ = 1\,$J/C)

capacità elettrica

ML$ ^{2}$T$ ^{-4}$I$ ^{-2}$

farad

F

 

 

 

( $ 1\,$   F$ = 1\,$V/C)

resistenza elettrica

ML$ ^{2}$T$ ^{-3}$I$ ^{-2}$

ohm

$ \Omega$

 

 

 

$ 1\, \Omega = 1\,$V/A)

conduttività

M$ ^{-1}$L$ ^{-2}$T$ ^{3}$I$ ^{2}$

siemens

S

 

 

 

( $ 1\,$   S$ = 1\,\Omega^{-1}$)

flusso magnetico

ML$ ^{2}$T$ ^{-2}$I$ ^{-1}$

weber

Wb

 

 

 

( $ 1\,$   Wb$ = 1\,$V$ \cdot$s)

densità di flusso

MT$ ^{-2}$I$ ^{-1}$

Tesla

T

magnetico

 

 

( $ 1\,$   T$ = 1\,$Wb/m$ ^2$)

induttanza

ML$ ^{2}$T$ ^{-2}$I$ ^{-2}$

henry

H

 

 

 

( $ 1\,$   H$ = 1\,$Wb/A)

temper. Celsius

$ \Theta$

grado Celsius

$ ^\circ$C

 

 

 

( $ 1\, ^\circ$C$ = 1\,$K)

flusso luminoso

J

lumen

lm

 

 

 

( $ 1\,$   lm$ = 1\,$cd$ \cdot$sr)

illuminazione

L$ ^{-2}$J

lux

lx

 

 

 

( $ 1\,$   lx$ = 1\,$lm/m$ ^2$)

 

L'insieme delle unità di base e delle unità derivate, definite secondo delle regole date per un dato sistema di grandezza, forma un sistema di unità (di misura). Una unità derivata è coerente se essa può essere espressa come prodotto delle potenze delle unità di base con un fattore di proporzionalità unitario. In particolare, se in un sistema di unità di misura tutte le unità sono coerenti il sistema stesso è indicato come sistema coerente. Ad esempio il sistema SI è coerente. Le unità che non appartengono al sistema di unità di misura sono dette fuori sistema. Esempi di unità fuori sistema per il sistema SI sono le unità di tempo giorno, mese, e anno, o l'elettronvolt ( $ \approx 1.602\times 10^{-19}$J). Delle unità di misura sono usati spesso multipli e sottomultipli. I simboli dei multipli e sottomultipli decimali di una unità sono costruiti dai simboli delle unità mediante prefissi (vedi tabella 6.1).

Il valore (di una grandezza) rappresenta l'espressione quantitativa di una grandezza particolare (nel senso introdotto precedentemente). Esso è dato generalmente sotto forma di una unità di misura moltiplicata per un numero, come nei seguenti esempi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lunghezza di una barretta

 

$\displaystyle 0.2384\,$m$\displaystyle ,\
238.4 \,$mm$\displaystyle ,\ $   etc.

 

tempo di reazione

 

$\displaystyle 0.185 \,$s$\displaystyle ,\
185 \,$ms$\displaystyle ,\ $   etc.

 

tensione di una batteria

 

$\displaystyle 8.75\,$V

 

quantità di materia di un gas

 

$\displaystyle 0.037\,$mol$\displaystyle ,\
37\,$mmol

 

coefficiente di attrito

 

$\displaystyle 0.331$

 

temperatura di un liquido

 

$\displaystyle 15.41\,^\circ$C$\displaystyle ,\
288.56\,$K

 


Il numero che esprime il rapporto fra il valore dellla grandezza e la sua unità è il valore numerico della grandezza. Nell'esempio precedente il valore numerico della barretta vale 238.4 se si scelgono i millimetri come unità di misura. Come si vede, il valore di una grandezza può essere espresso in più modi. Naturalmente i valori di grandezze adimensionali sono espressi da numeri puri.

Il valore di una grandezza è quindi espresso da

 

$\displaystyle G = \{G\}\cdot[G],$

(8.3)

 

dove $ G$che rappresenta la grandezza fisica, $ [G]$l'unità di misura e $ \{G\}$il suo valore numerico. Si ricorda a tale proposito che il valore di una grandezza fisica è invariante per cambiamento di unità di misura. Se $ G$è una grandezza fisica e $ \{G\}_a$e $ \{G\}_b$sono i suoi valori numerici quando essa è espressa rispettivamente nelle unità $ [G]_a$e $ [G]_b$, la condizione di invarianza può essere scritta:

 

$\displaystyle G = \{G\}_a\cdot[G]_a = \{G\}_b\cdot[G]_b\,.$

(8.4)


Questa relazione permette di effettuare il cambiamento di unità se si conosce il rapporto fra $ [G]_a$e $ [G]_b$. Ad esempio, se $ a$e $ b$sono riferite a calorie e a joule, la grandezza quantità di calore scambiato $ Q$può essere espressa come

 

$\displaystyle Q = 1.35$   cal$\displaystyle = 5.65$   J$\displaystyle \,,$

(8.5)


in quanto

$\displaystyle \frac{[G]_b}{[G]_a} = 4.1868$   J$\displaystyle /$cal$\displaystyle \,.$

 

 

Valore vero

Una definizione importante è quella di valore vero8.2(di una grandezza), ovvero, detto alla buona, ``quel'' valore che si otterrebbe attraverso una ``misura perfetta''. Poiché, come vedremo nel seguito, è impossibile effettuare una misura esente da incertezze, ogni valore vero è per natura indeterminato. È da notare come la definizione ufficiale ISO del valore vero sia ancora più sottile. Esso è infatti

``un valore compatibile con la definizione di una data grandezza particolare''.

È da notare come anche l'uso dell'articolo indeterminativo non è casuale, in quanto ci possono essere più valori consistenti con la definizione di una data grandezza particolare. Questo sarà più chiaro quando, fra breve, analizzeremo in dettaglio le possibili cause dell'incertezza di misura. Risulterà, allora, che questa definizione, che ora può sembrare un po' vaga, è in effetti quella più pragmatica. Comunque, nel seguito useremo spesso la dizione ``il valore vero'' invece di ``un valore vero''.

Pur riconoscendo che il concetto di valore vero è, di fatto, una idealizzazione, ha senso parlare di valore convenzionalmente vero se con esso si intende quello attribuito a una grandezza particolare e accettato, per convenzione, in quanto avente un'incertezza appropriata all'uso. Ad esempio il valore indicato su un campione di riferimento può essere usato come valore convenzionalmente vero della grandezza se la sua incertezza ha un effetto trascurabile sull'incertezza totale.

 

\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago36.eps,width=\linewidth,clip=}\end{figure}

Figura: Cella di Weston per la calibrazione di voltmetri di precisione.

 

Ad esempio, la figura 8.1 mostra uno schema di una cella di Weston, insieme alla tabella che dà la differenza di potenziale in funzione della temperatura. Tale cella fornisce dei valori convenzionalmente veri di differenza di potenziale per le molte applicazioni di laboratorio8.3 anche se la temperatura è nota in modo approssimativo.

 

 

Misure: concetti e definizioni

Dopo i concetti di grandezza e di valore di una grandezza, possiamo introdurre quello di misura8.4 come l'insieme di operazioni che hanno come scopo la determinazione del valore del misurando, ovvero della grandezza sottoposta a misura. È molto importante definire acccuratamente il misurando, ed eventualmente dare delle indicazioni riguardanti altre grandezze da cui può dipendere il suo valore. Per esempio nel definire i misurandi ``densità dell'acqua'' o ``lunghezza di una certa barretta di allumio'' è necessario specificare a quale temperatura essi sono riferiti. Le grandezze che possono condizionare il valore del misurando sono chiamate variabili di influenza.

Il principio che costituisce la base scientifica della misura è chiamato il principio di misura. Esso può essere un principio fisico, chimico, biologico, etc. Ad esempio: il principio fisico della dilatazione di un corpo con la temperatura sta a base della misura di temperatura effettuata mediante un termometro a mercurio; l'effetto Doppler può essere utilizzato per misurare la velocità di un corpo, mentre la legge dell'elasticità per pesare un oggetto mediante un dinamometro; la colorazione di una cartina al tornasole permette di valutare il $ pH$di una soluzione; e così via.

Per metodo di misura si intende invece la successione logica delle operazioni, descritte un maniera generica, messe in atto nell'eseguire la misura. Esso può essere classificato in diversi modi, come ad esempio: per confronto; per sostituzione; metodo differenziale; metodo di zero.

I metodi di misura sono classificati anche in diretti e indiretti. Nei metodi di misura diretti il valore misurato è espresso in termini della grandezza fisica del misurando e, nella maggior parte dei casi, esso è fornito direttamente dall'indicazione di uno strumento di misura8.5; nei metodi indiretti invece il valore misurato è espresso in termini di altre grandezze (misurate direttamente) e il valore di interesse è ottenuto mediante relazioni note. Ad esempio la misura della velocità istantanea di una vettura può essere determinata dal tempo che essa impiega a percorrere la distanza fra due traguardi posti molto vicini (misura indiretta) oppure dalla lettura del tachimetro (misura diretta). È da notare che, mentre tradizionalmente si tendeva a definire misure dirette quelle ottenuto per diretto confronto con un campione di misura, e indirette le altre, oggi si preferisce chiamare dirette semplicemente quelle misure realizzate con strumenti che hanno un'uscita (``output") diretta, nel senso che verrà definito nel paragrafo 8.9.1.

Per definizione operativa di misura (o procedura della misura) si intende invece l'insieme delle operazioni eseguite nell'effettuare le misure. Esse devono essere descritte ad un livello di dettaglio tale da permettere ad un altro sperimentatore di effettuare le misure senza ulteriori informazioni.

Molto spesso il risultato della misura viene ottenuto determinando il valore di un segnale di misura, ovvero una grandezza che rappresenta il misurando e a cui è legato mediante una funzione. Ad esempio una tensione o una corrente elettrica possono rappresentare il segnale di una misura proveniente da un trasduttore di pressione o dal sensore di un flussimetro di massa. Il segnale in ingresso a un sistema di misura è anche chiamato stimolo (o sollecitazione) e il segnale in uscita risposta.

\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago30.eps,width=\linewidth,clip=}\end{figure}

Figura: Esempio di catena di misura in uno strumento a uscita diretta analogica. È anche indicato schematicamente il deterioramento della qualità del segnale di misura durante il percorso dal sensore al cervello dello sperimentatore. L'effetto globale di deterioramento nei singoli stadi è descritto dalla così detta propagazione degli errori.

 

In figura 8.2 è mostrato il percorso compiuto dal segnale di misura nei diversi stadi di un termometro. Si noti come l'occhio dello sperimentatore non è l'ultimo stadio di questo processo di misura, ma è seguito dalla trasmissione attraverso le connessioni nervose fino al cervello, dove avviene l'elaborazione finale dell'informazione. E` importante abituarsi a pensare che nella maggior parte dei casi lo sperimentatore sia parte integrante del sistema di misura.

Anche le operazioni di conteggio, sia eseguite manualmente che con strumenti, sono misure. Si pensi, ad esempio, al conteggio di linfociti in un campione di sangue, del numero di decadimenti di una sostanza radioattiva in un certo intervallo di tempo o del numero di oggetti celesti osservabili a occhio nudo in una regione di cielo.

 

 

 

 

Risultati di misura, errori ed incertezze

L'esecuzione della procedura di misura porta ad un risultato di una misura, ovvero in un valore attribuito al misurando. Molto spesso il risultato della misura non è semplicemente pari all'indicazione diretta, ovvero valore letto sulla scala dello strumento. Questo può essere moltiplicato per una opportuna costante dello strumento per ottenere l'indicazione dello strumento. Inoltre può essere necessario correggere un risultato grezzo per un errore sistematico (vedi dopo). Si ottiene così un risultato corretto.

A questo punto è importante definire esattamente cosa si intende per errore ed in particolare per errore sistematico. Anche in questo caso procediamo per gradi. Prima definiamo alcuni termini e poi ritorneremo a una discussione più approfondita sui diversi tipi di errore, sulle loro cause e sulla loro influenza sui risultati.

Cominciamo col dire che per errore di misura si intende la

``differenza fra il risultato di una misura e il8.6 valore vero del misurando''.

Ma, poiché il valore vero di una grandezza è generalmente ignoto, ignoto è anche l'errore. Esso può essere valutato esattamente soltanto se si dispone di un campione di riferimento, ovvero di un valore convenzionalmente vero. Il rapporto fra l'errore e il valore vero del misurando definisce l'errore relativo. Ad esempio se uno strumento indica 0.985$ \,$V nel misurare una tensione di riferimento di 1.019$ \,$V, l'errore di misura è pari a -0.034$ \,$V e l'errore relativo è pari -0.033, ovvero $ -3.3\,\%$. A volte, per chiarire meglio che si sta parlando dell'errore e non dell'errore relativo, il primo viene chiamato anche errore assoluto (espressione non va confusa con ``valore assoluto dell'errore'', o modulo dell'errore).

L'inevitabilità degli errori di misura e l'ignoranza della loro entità fa sì che non è dato di conoscere con esattezza il valore il valore del misurando. Ne segue allora che ad ogni risultato di misura è associato un certo grado di una incertezza (o indeterminazione8.7), ove con questo termine si intende, qualitativamente,

``un parametro che caratterizza la dispersione dei valori che possono essere ragionevolmente attribuiti al misurando''8.8.

Vedremo nel seguito come fornire quantitativamente l'incertezza di misura.

 

 

Precisione e accuratezza

\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago40.eps,width=10cm,clip=}\end{figure}

Figura: Esempi di risultati ottenuti da misure di diverso grado di precisione e di accuratezza. Ad esempio il caso b) mostra misure effettuate con maggiore precisione, ma con peggiore accuratezze del caso c). Il caso d) è quello peggiore sia per quanto riguarda la precisione che l'accuratezza.

I termini precisione e accuratezza8.10 sono messi in relazione con gli errori casuali e sistematici. Una misura è tanto più precisa quanto più i singoli valori misurati in condizioni di ripetitibilità8.11si concentrano intorno alla media della serie di misure effettuate. Il concetto di precisione è qualitativo. La variabilità dei risultati viene quantificata, come di consueto, nella deviazione standard $ \sigma $. Ma questa di per sé non è atta a quantificare la precisione della misura secondo il significato usuale del termine di ``qualità della misura''. Ad esempio una deviazione standard di 1 mm rappresenta ottima o pessima precisione a seconda che si stiano misurando lunghezze della decina di metri o inferiori al centimetro. Si preferisce quantificare la precisione con il modulo del coefficiente di variazione $ v = \sigma/\vert\overline x\vert$, in genere espresso in percentuale (vedi 5.9). Una deviazione standard di 1 mm su una misura di 10 cm corrisponde ad una precisione dell'1%. Si presti attenzione al fatto che nell'uso corrente ``maggiore'' è la precisione ``minore'' è il numero che la indica.

L'accuratezza esprime invece l'assenza di errori sistematici nella misura: una misura è tanto più accurata quanto più la media delle misure si approssima al valore vero della grandezza. Anche l'accuratezza è spesso espressa come rapporto fra l'errore sistematico e il valore della grandezza. La figura 8.7 indica la distribuzione di valori ottenuti da misure di diversa precisione e accuratezza, in una situazione in cui si conosce un valore convenzionalmente vero.