Verifica del calcolo della Potenza acustica e dell’SPL in funzione dello spostamento volumetrico

di Mario Bon

 

Attenzione Beranek usa la tensione i picco  e definisce la potenza come e2/(2R) questo potrebbe portare un fattore 2 di differenza.

 

A pag. 106 del n. 341 di Audio Review è riportata una espressione per il calcolo dell’ SPL prodotto da un woofer ad una certa frequenza in funzione dello spostamento volumetrico:

 

SPL = 20 log ((p2 ro Xp f2 D2 / (2.828 Pref)))

Espressione di partenza

SPL = 106.49+20 log ( Xp f2 D2 )

Calcolo delle costanti

SPL = 106.49+20 log ( Xp f2 SD  4 / p)

Evidenzio SD

SPL = 106.49+20 log ( Xp f2 SD)+20 log ( 4 / p)

Separo le costanti

SPL = 106.49+  2.098+ 20 log ( Xp f2 SD)

Calcolo log

SPL = 108.59+  20 log ( Xp f2 SD)

Espressione finale Audio Review

 

L’uso di Xp (spostamento di picco) è giustificato dal fatto che questo è il valore che generalmente si trova nei data sheet degli altoparlanti.

 

Qui di seguito vengono utilizzate tre espressioni ottenute da tre sorgenti diverse

Beranek, Ballon, e Heyda (del 1945). In più vengono utilizzati dei dati forniti da Philips ELCOMA e da Audio Pro per il riscontro numerico.

 

Espressione di Ballon (valida per un woofer su schermo infinito a bassa frequenza):

Wrms indica (impropriamente) la potenza continua

 

Wrms = Sd2  vp2 (ro c k2)/ (4 p)  [*]

 

Nota c’è un fattore 2 di differenza con Beranek perché Ballon usa l’ampiezza della velocità e non la velocità rms

 

Wrms = Sd2  velox2 (ro c k2)/ (2 p) 

k = w/c  ro=densità dell’aria    roc=412

x= Xmax cos (wt)

vp = ampiezza della velocità

velox è la velocità efficace rms

velox = w Xrms (-sin (wt))

Wrms = Sd2  ( w Xrms)2 (ro c (w/c)2)/ (2 p)

raccolgo w, semplifico c

Wrms = Sd2  w4 Xrms2  ro  / (2 p c)

SV = Sd Xmax  spostamento volumetrico

Wrms = SVrms2  (2 p )4 f4   ro  / (2 p c)

 

Wrms = (8 p3 ro /  c) SVrms2  f4   

raccolgo e calcolo le costanti

Wrms = 0.8717 (SVrms  f2)2

(8 p3 ro /  c) = 0.8717

Da potenza a SPL

Lw = 10log (Wrms /Wrif) = 10log(0.8717  SVrms2 f4 ) + 120

Lw = 10log( SVrms2 f4 ) + 120 + 10log(0.8717)

Lw = 10log(SVrms2 f4 ) + 120  – 0.59

Lw = 10log(SVrms2 f4 ) + 116.39

divido per Wrif e passo al logartimo a destra e sinistra

sistemo le costanti

          

SPL = 10log(SVrms2 f4 ) + 119.4 – 10.8

SPL = 10log(SVrms2 f4 ) + 108.59

SPL = Lw – 10.8           

SPL = 10log(SVrms2 f4 )+ 108.59

 

SPL = 105.59+20 log (  f2  SVpicco  )

 

Espressione della potenza acustica emessa a bassa frequenza da un pistone rigido su schermo infinito in campo lontano derivata dall’ Handbook for sound Engineers – terza edizione - di Glen M. Ballon

[*] = espressione 17-13 a pag 526

 

 

Secondo Beranek (Acoustics, pag 188 eq 7.5)

Wrms =  velox2  2RMR = potenza emessa da entrambe i lati del pistone su parete infinita

quindi per un solo lato si deve dividere per due..

 

 

Wrms =  velox2  RMR

(espressione 7-9 a pag 189 Beranek)

 

queste espressioni sono valide nella regione compresa tra la frequenza di risonanza e ka<1

 

 

per pistone su mezzo spazio

k = w/c  ro=densità dell’aria    roc=406

 

x(t) = 1.414 Xrms cos (wt)

v(t) = 1.414 w Xrms (-sin (wt))

 

velox = w Xrms

RMR = w2 SD2 ro /(2 p c)  (Beranek 7.9 pag 189)

verifica anche con A.D. Pierce  

Wrms = velox2 (w2 SD2 ro /(2 p c))  

Sostituisco RMR

Wrms = Xrms2  w2  w2 SD2 ro /(2 p c)  

w=2 p f

Wrms = Xrms 2 w4 SD2 ro /(2 p c)  

 

Wrms = Xrms 2 16 (p f)4 SD2 ro /(2 p c)   [***]

semplificato  e sostituisco  SVrms = Xrms SD  

Wrms = (8 p3 ro /  c)   SVrms2  f4   

raccolgo e calcolo le costanti

Wrms = 0.8652 ( SVrms  f2 )2  

Wrms = 0.4326 ( SVpicco  f2 )2  

 

SVrms = SVpicco/1.4.14

Da potenza a SPL 

Lw = 10 log (W/Wrif) = 10log(0.4326  SVp2 f4  ) + 120

Lw = 10log( SVp2 f4  ) + 120 + 10log(0.4326)

Lw = 10log( SVp2 f4  ) + 120  – 3.66

Lw = 10log( SVp2 f4  ) + 116.34

divido per Wrif e passo al logaritmo a destra e sinistra

sistemo le costanti

          

SPL = 10log( SVp2 f4  ) + 116.34 – 10.8

SPL = 10log( SVp2 f4  ) + 105.54

SPL = Lw – 10.8           

SPL = 105.5+20 log (  f2  Svpicco  )  circa

SPL in funzione dello spostamento volumetrico di picco

Espressione della potenza acustica emessa a bassa frequenza da un pistone rigido su schermo infinito in campo lontano derivata dal Beranek. 

 

In oltre, da documentazione Philips ELCOMA, ricavo questi dati:

 

 

spostamento volumetrico e frequenza tali da ottenere 1 Watt e 109.2 dB SPL su mezzo spazio

(dati Philips ELCOMA)

SV =  0.152372 litri a 100 Hz

105.59 + 20 log(10000 x 0.152372/1000) = 109.24

SV =   0.431242 litri a   60 Hz

105.59 + 20 log(3600 x 0.431242/1000) = 109.41)

SV =   1.693        litri a   30 Hz

105.59 + 20 log(900 x 1.693/1000) = 109.24

 

Dai depliant pubblicitari della Audio Pro (sub woofer B4-200)

 SV =   6 litri a 20 Hz -> 1 Watt e 113. dB SPL su mezzo spazio. (verificato)

 SV =   6 litri a 30 Hz -> 1 Watt e 120. dB SPL su mezzo spazio. (verificato)

Anche questi sono verificati dalla espressione  SPL = 105.59+20 log (  f2  Sv  )

 

 

 

 

Wrms = Xrms 2 16 (p f)4 SD2 ro /(2 p c)  

Espressione [***]

Wrms = SVrms 2 16 p4 f4  ro /(2 p c)  

Esplicito rispetto allo spostamento volumetrico

SVrms  =  sqr[( Wrms 2 p c) / (16 p4  ro f4 )]

Sqr = radice quadrata

SVrms  = sqr[ c / (16 p4  ro) ]  sqr[ Wrms 2 p  ] /f2

 

SVrms  = 0.4273 sqr[( Wrms 2 p ) ] /f2

Moltiplico a destra e a sinistra per 1.414

SVp  = 0.604 sqr[( Wrms 2 p ) ] /f2

Che corrisponde alla espressione di Heyda per un angolo di 2 p

Questa è in unità MKSA

Partendo dalla espressione [***] si ottiene anche l’espressione fornita da Heyda (1945)

Il valore della costante differisce a causa dei viversi valori assunti per la densità dell’aria e la velocità del suono. La differenza è dello 0.66% (0.055 dB)