Sistema di Riferimento

23/02/2017

MB

 

L'uso delle coordinate geometriche venne introdotto per la prima volta da Nicola d'Oresme, matematico del XIV secolo operante a Parigi. L'aggettivo cartesiano è riferito al matematico e filosofo francese René Descartes (Renato Cartesio) il quale, tra le altre cose, riprendendo gli studi di Nicola d'Oresme, lavorò sulla fusione dell'algebra con la geometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della geometria analitica, del calcolo infinitesimale e della cartografia.

L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da Cartesio e, indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura.

 

Un sistema di riferimento deve avere tante dimensioni quante sono le dimensioni dello spazio in cui si opera. La possibilità di scegliere arbitrariamente il punto di origine dello spazio e del tempo deriva dal fatto che spazio e tempo sono omogenei. Nell’ambito della Teoria dei Sistemi e dei Segnali è  normale lavorare con decine di migliaia di dimensioni. La mente umana si è formata in uno spazio fisico a tre dimensioni e solo più tardi ha preso in considerazione il tempo. Ne segue che la nostra memoria è organizzata sulla base di mappe spaziali di tipo topografico dove il primo criterio di collegamento è la vicinanza spaziale. (non quella temporale).

 

Ogni individuo stabilisce il proprio sistema di riferimento: destra, sinistra, alto, basso, davanti e dietro. La distinzione tra alto e basso è determinata dalla forza di gravità. Tutto il resto dalla propriocezione con l’aiuto della vista.

In assenza di gravità la fisiologia del nostro corpo cambia. Per esempio il metabolismo del calcio.

 

Qualsiasi cosa si intenda fare, la prima operazione, prima ancora di cominciare,  deve essere la definizione del sistema di riferimento.

Anche quando si fa l’esame del sangue i valori misurati vengono paragonati con i valori ritenuti “normali”. L’insieme di quei valori “normali” (che definisce lo stato “normale” dell’individuo) è il sistema di riferimento. La misura dello scostamento dei valori misurati rispetto ai valori “normali” determina la distanza tra lo stato attuale dell’individuo e lo stato ritenuto  “normale”. Tale distanza si calcola applicando il teorema di Pitagora che vale in ogni spazio indipendentemente dal numero di dimensioni.

 

Questo è vero in qualsiasi ambito.

 

La differenza sta nel fatto che le dimensioni dello spazio ordinario (euclideo) sono solo tre mentre le grandezze misurate nell’esame del sangue sono decine e, per rappresentarle graficamente, servirebbe uno spazio con decine di dimensioni.

 

Quindi il concetto di sistema di riferimento non è limitato alla fisica o alla geometria ma è del tutto generale.

 

In fisica e in geodesia un sistema di riferimento è un sistema rispetto al quale viene osservato e misurato un certo fenomeno fisico o un oggetto fisico oppure vengono compiute determinate misurazioni. In geometria il sistema di riferimento è costituito da assi (rette o curve) rispetto ai quali si misurano le distanze.

La distanza è una grandezza, il valore della distanza si misura in metri ed  è un numero reale.

 

La nozione nasce nell'ambito della meccanica classica, in cinematica e dinamica, con la descrizione del moto dei corpi e con la constatazione che il moto è sempre relativo ad un sistema rispetto al quale lo osserviamo.

In fisica la primaria distinzione tra sistemi di riferimento è quella tra sistemi di riferimento inerziali e sistemi di riferimento non inerziali. Dalla Teoria della Relatività Speciale discende il principio secondo il quale le leggi fisiche sono invarianti in tutti i sistemi di riferimento inerziali, cosa che in fisica classica falliva applicando le trasformazioni di Galileo alle equazioni di Maxwell.

 

A partire dalla definizione di un sistema di riferimento, nell'osservazione di un certo fenomeno, è possibile definire o costruire un sistema di coordinate per la misura oggettiva dei parametri fisici o grandezze fisiche di riferimento come ad esempio spazio, tempo, posizione, velocità, accelerazione ecc...

 

Sistema di riferimento monodimensionale

Sistema di riferimento unidimensionale: si traccia una retta, di fissa il verso di percorrenza e un punto di origine. La coordinata del punto P viene misurata dall’origine.

Sistema di riferimento monodimensionale curvilineo

 

Non è detto che si debba tracciare per forza una retta.

 

Sistema di riferimento Cartesiano

 

Il sistema di riferimento bidimensionale è costituito da una coppia di rette incidenti ortogonali tra loro. Tali rette sono indicate, in genere, con {\displaystyle X}X (ascissa) e Y(ordinata) ed il loro punto di intersezione è l'origine per entrambe le rette. Su ciascuna retta si fissa un verso di percorrenza ed un'unità di misura che in genere è uguale per entrambe le rette, ma per esigenze particolari può benissimo essere diversa per ciascuna retta.

 

La posizione di un punto del piano viene individuato da una coppia ordinata di valori P(x,y) che sono le sue coordinate ovvero le distanze delle loro proiezioni dall’origine{\displaystyle \langle x,y\rangle } (0,0). In generale le due rette possono non essere ortogonali. Quando sono ortogonali il sistema si chiama sistema di riferimento cartesiano ortogonale

 

Sistema di riferimento tridimensionale ortogonale

Il sistema di riferimento tridimensionale è costituito da tre rette (non necessariamente perpendicolari) in genere indicate con {\displaystyle X}X,Y e Z, {\displaystyle Y}

L’intersezione delle tre rette {\displaystyle Z} è l'origine del sistema di riferimento. Per ciascuna di tali rette si sceglie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Un punto dello spazio è individuato da una terna ordinata (detta terna cartesiana) di valori P(x,y,z) che rappresentano la distanza delle proiezioni del punto P sui tre piani  dall’origine.

 

Quando i tre assi sono mutuamente ortogonali il sistema è detto sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

 

 

 

Esempio di determinazione delle coordinate di alcuni punti del piano rispetto ad un sistema di assi cartesiano ortogonali.

 

Altri sistemi di riferimento:

 

Quando è utile (per semplificare i calcoli) si utilizzano sistemi di riferimento in coordinate polari (sferiche o ellittiche) o cilindriche. Questo è utile quando siano presenti particolari simmetrie. Per esempio le onde acustiche si propagano con fronti d’onda sferici per cui conviene trattarle con un sistema di riferimento in coordinate polari.

 

Polar coordinates.svg

Cylindrical coordinates.svg

Sistema di riferimento polare in due dimensioni

Di utilizza una distanza e un angolo

In tre dimensioni si usano una distanza e due angoli.

Sistema di riferimento cilindrico in tre dimensioni

Si utilizza una distanza, un angolo e l’elevazione (z)

 

Esistono le trasformazioni per passare da una rappresentazione ad un’ altra. Le trasformazioni che conservano le distanze si dicono normate.

 

Spazi complessi

 

Negli spazi complessi una o più dimensioni sono immaginarie e quindi non rappresentabili nello spazio ordinario. L’Universo in cui viviamo ha quattro dimensioni:

 

-          tre dimensioni spaziali reali (rappresentabili)

-          una dimensione temporale immaginaria (non rappresentabile).

Questo spazio si chiama “Spazio di Minkowsky” che lo ha “inventato” nel 1908 per rappresentare lo spazio quadridimensionale introdotto da Einstein con la Relatività.

Dato che il cervello è un oggetto ordinale in tre dimensioni si capisce perché prediliga la rappresentazione dei ricordi per mappe spaziali e abbia “lasciato indietro” la rappresentazione temporale (che richiederebbe una quantità enorme di memoria). C’è anche da osservare che diecimila anni fa era più importante ritrovare il proprio rifugio piuttosto che tornare a casa per l’ora di cena.

Ancora una volta incontriamo il principio di economia di pensiero e unità di trattazione.