La sfera pulsante ideale in dettaglio

 

Scriviamo l’espressione del rendimento separando il rendimento della trasformazione elettromeccanica dal rendimento della trasformazione acustica-meccanica.

 

Rendimento meccano-elettrico = Re[Pmec]/Re[Pele] = Re[Zes]/Re[Zes+Ze]  (2)

Rendimento acustico-meccanico = Re[Pacu]/Re[Pmec] = Re[Za]/Re[Zm+Za]   (3)

 

Rendimento totale = (Re[Pmec]/Re[Pele]) (Re[Pacu]/Re[Pmec]) = Re[Pacu]/Re[Pele])

Rendimento totale = (Re[Zes]/Re[Zes+Ze]) (Re[Za]/Re[Zm+Za])

 

Per prima cosa, dall’ipotesi ideale che il rendimento meccano-elettrico sia pari al 100%, si deduce che le perdite meccaniche sono nulle. Ne segue che la parte reale di Zm è nulla e Zm è immaginaria pura. Dato che Zes è proporzionale a 1/Zm, ne segue che anche Zes è puramente immaginaria. 

1/Zm =   Zm*/<Zm|Zm>  => immaginario puro.

Quindi fin qui abbiamo stabilito che Re[Zes+Ze]=Re[Ze]=RE

 

Osservando la (2) si potrebbe dire che il rendimento meccano-elettrico è massimo se Ze è nullo. Purtroppo, ponendo Ze=0 si pone anche RE=0 e resta solo Zes che è puramente immaginaria. In queste condizioni la potenza elettrica attiva erogata sul carico è indeterminata e non è possibile definire il rendimento. Ne segue che RE non può essere nulla. Dobbiamo supporre Zes contenga una componente reale. Ora possiamo porre Zes >>Ze.

Ma Zm è proporzionale a 1/Zes e se Zes va a infinito allora Zm si annulla e questo impedisce di trasferire potenza a Za…. Quindi Zm deve essere contemporaneamente nulla e non nulla così come Zes deve essere puramente immaginaria ma con una parte reale. Siamo di fronte a  condizioni contraddittorie. Non appena si modifica una caratteristica della sfera pulsante ideale … la sfera cessa di essere ideale.

 

Passiamo al rendimento acustico-meccanico: per ottenere il 100% deve essere Za >> Zm. Al limite deve essere Za infinita. Za è l’impedenza di radiazione della sfera che diventa infinita quando il raggio della sfera è infinito. Le caratteristiche della  sfera  pulsante ideale  vengono attribuite anche alle  sorgenti puntiformi così troviamo una ulteriore contraddizione: la  sfera pulsante ideale  è contemporaneamente  infinita e  senza  dimensioni.

 

Ne segue che la sfera pulsante ideale, per essere  tale, deve possedere una serie di caratteristiche in contrasto tra loro che la rendono un dispositivo ideale non realizzabile e molto diversa da una sorgente reale. Tuttavia il modello della  sfera  pulsante viene utilizzato come utile paragone  per calcolare, per  esempio, il rendimento delle  sorgenti reali.