Sinusoide:

 

 

dal punto di vista matematico la sinusoide è una funzione periodica trascendente, infinitamente derivabile, che si esprime  nella forma y(t) = sin(wt+kx).

Un segnale periodico si ripete uguale a sé stesso dopo un intervallo di tempo costante detto periodo. Qualsiasi segnale fisico (onde radio, suono, onde del mare, onde sismiche ecc.) si  rappresenta con una sovrapposizione di onde sinusoidali (di ampiezza e fase opportuna). E’ interessante notare che la funzione seno è trascendente ovvero non disponiamo, per essa, di una forma esplicita. Quando c’è qualche cosa di interessante o c’è di mezzo una funzione trascendente o un numero irrazionale (tipo il pi-greco). In sostanza la nostra matematica sembra tecnicamente inadeguata, tranne casi triviali, per rappresentare l’Universo che ci circonda. In compenso funziona perfettamente per contare le mele, le pere, le capre….

Un segnale sinusoidale trasporta tre informazioni: ampiezza,  frequenza e fase. La frequenza è l’inverso del periodo. La frequenza rappresenta il numero di periodi che si ripetono in un secondo. Un suono acuto possiede frequenza alta, un suono basso presenta frequenza bassa.  La fase dipende dalla scelta dell’origine dell’asse del tempo. Ne segue che solo le differenze di fase hanno significato fisico e rappresentano una informazione.  

 

L’importanza delle funzioni sinusoidali sta nel fatto che, quando un segnale sinusoidale entra, come stimolo,  in un sistema lineare, ne esce ancora con la stessa forma.

 

La sinusoide è invariante in forma rispetto a trasformazioni lineari (omomorfismi).

 

Questo permette, confrontando l’uscita con l’ingresso, di definire il guadagno e il ritardo di fase. Questo è anche il motivo per cui la sinusoide è così largamente utilizzata in tutti i tipi di misura. Purtroppo i segnali sinusoidali sono molto rari in natura e il nostro apparato uditivo non è abituato a trattare segnali sinusoidali. I segnali sinusoidali, quindi, non rappresentano le “effettive condizioni d’uso” e le misure condotte “in regime sinusoidale” non sempre sono rappresentative della qualità della riproduzione di un dispositivo.

 

 

 y(t) = A sin(wt+kx)

A = ampiezza di picco      2 A = ampiezza picco-picco 0.707 A = ampiezza RMS

w = pulsazione = 2 p frequenza

t  = tempo

k = w/c     c=velocità di propagazione

kx = fase

l = lunghezza d’onda, spazio percorso in un periodo

l = c/frequenza

la figura rappresenta una sinusoide y= sin (wt+kx)

 

 

Un suono, una nota musicale suonata da uno strumento, è composta dalla sovrapposizione di più sinusoidi. Quella a frequenza più bassa è detta fondamentale. Tutte le altre presentano frequenza multipla della fondamentale e sono dette armoniche.

Una successione armonica è composta da sinusoidi di frequenza multipla della fondamentale.

Per esempio un’onda quadra a 100 Hz è formata dalla sovrapposizione delle seguenti sinusoidi:

 

fondamentale 100 Hz con  ampiezza =1

terza armonica 300 Hz con  ampiezza =1/3

quinta armonica 500 Hz con  ampiezza =1/5

settima armonica 700 Hz con  ampiezza =1/7

….

Ennesima armonica = 100 (2n+1) Hz con  ampiezza =1/(2n+1)

 

Nel caso particolare dell’onda quadra mancano tutte le armoniche di ordine pari (altri segnali presentano spettri completamente diversi) .

Per conoscere il contenuto armonico (o spettro) di un suono (o di un segnale i generale) lo si espande in serie di  Fourier con un particolare strumento detto Analizzatore di Spettro (analizzatore FFT). La figura qui sotto mostra un’onda quadra con il suo spettro (le prime 19 armoniche) e il risultato della composizione, nel tempo, delle prime 5 armoniche diverse da zero.