Valore RMS detto anche valore Efficace

Revisione del 18 giugno 2016

 

Valore Efficace.(di una grandezza misurabile) #1 : detto valore RMS è pari alla radice quadrata della media dei quadrati dei valori assunti da una funzione e quindi da un segnale. L’acronimo RMS significa Root Mean Square (radice della media dei quadrati). Si veda anche Fattore di Cresta.

Va rimarcato che il valore RMS è indipendente dalla particolare forma del segnale nel tempo e quindi dal suo spettro: alimentare un carico (un resistore) con un’onda quadra da 4 Vrms, con un rumore rosa da 4 Vrms o con una sinusoide da 4 Vrms (per lo stesso tempo) produce sempre lo stesso riscaldamento termico ed i tre segnali, dal punto di vista energetico, sono indistinguibili. Questo vale per qualsiasi segnale.

 

La risposta in frequenza di un diffusore acustico non è piatta: alimentare un diffusore acustico con 2.83 Vrms di rumore rosa o 2.83 Vrms sinusoidali non produce la stessa pressione SPL.

Se un rumore rosa, con banda passante di 10 ottave, possiede RMS pari a 0 dB, stringendo la banda a 6 ottave per mantenere lo stesso valore RMS il livello del rumore deve aumentare di 10log(10/6) = 2.2 dB.

Ne segue che la sensibilità del diffusore alimentato con 2.83 Vrms di rumore rosa su 6 ottave (anziché 3 decadi) risulta 2.2 dB più alta.

 

 

Valore Efficace.(di una grandezza misurabile) #2 : sia data una corrente elettrica, variabile nel tempo, che attraversa un carico (per esempio un resistore), il valore efficace di questa corrente è pari all’intensità che dovrebbe avere una corrente continua per produrre la stessa quantità di calore nel resistore (sviluppare la stessa potenza elettrica). Lo stesso concetto vale anche per la tensione. Ad esempio applicando ad un resistore una tensione  di 12 Volt RMS, il riscaldamento che ne deriva è lo stesso che si otterrebbe applicando una tensione continua di 12 Volt. Il valore RMS può essere calcolato per qualsiasi grandezza variabile nel tempo (e la sua interpretazione cambia di conseguenza).

 

 

Definizione di valore RMS per un generico segnale f(t) definito nell'intervallo T1t ≤T2

 

Scrivendola in questo modo si capisce come si sommano i valori RMS.

 

 

Qui viene illustrata la differenza tra il valore RMS di due segnali non correlati  e di due segnali uguali.

I segnali non correlati si sommano in potenza (due segnali con lo stesso RMS producono un incremento d  3  dB). Due segnali uguali che si sommano in ampiezza comportano un incremento di  6 dB.

Il rumore si somma in potenza.

 

Valore RMS di un tono sinusoidale puro:

Per una sinusoide il valore RMS è circa il 70% del valore di picco massimo (-3 dB). Ne segue che il fattore di cresta della sinusoide vale 1.4142….(radice di 2)

 

Per un segnale campionato (una serie di N campioni) il valore RMS si calcola come segue:

  1. il valore di ciascun campione viene elevato al quadrato;
  2. si calcola la media dei valori
  3. si estrae la radice quadrata della media.

Analiticamente, detti x1, x2, ..., xN i valori assunti da ciascuno degli N campioni del segnale si scrive:

Forse qualcuno avrà notato la somiglianza con il Teorema di Pitagora: se le X, sono le coordinate di uno spazio a N dimensioni allora Xrms è la distanza tra il punto P(Xi) e l’origine degli assi cartesiani (diviso per N2).

 

 

Uguaglianza di Parseval

 

con in evidenza la parte reale ed immaginaria delle componenti spettrali

 

 

Scritta l’uguaglianza di Parseval e applicando la definizione di valore RMS si ricava l’espressione del valore RMS in funzione dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di f(t)).

 

Questa è l’espressione corretta. Vedere Fourier

 

Valore Efficace. e Fattore di Cresta : per una sinusoide tutte le grandezze sono note in funzione dell’ampiezza: se il segnale è x(t) = A sin (wt)

 

L’ampiezza di picco = A

Ampiezza picco-picco= 2 A

Valore RMS = 0.707 A

 

Un segnale casuale viene descritto da grandezze statistiche:

 

distribuzione delle ampiezza

valore di picco

valore RMS

fattore di cresta

valore medio

fattore di forma

autocorrelazione

 

Il rapporto tra il valore di picco ed il valore RMS, per una sinusoide,  vale 1.414 (la radice si 2). Il rapporto tra il valore di picco ed il valore RMS si chiama Fattore di Cresta ed è molto utile per farsi una idea dell’andamento nel tempo del segnale.

Se il Fattore di Cresta  è molto alto significa che il segnale presenta picchi molto elevati a fronte di un valore efficace basso. Nel caso del segnale musicale il valore RMS della pressione è proporzionale al livello SPL mentre il valore di picco della pressione è legato alla percezione della “dinamica”.  Il segnale musicale (su CD audio) presenta fattori di cresta che vanno da poco meno di 3 a 30. La differenza di Livello è pari a 20

Noto il fattore di cresta di un segnale musicale e noto il carico (impedenza elettrica del diffusore acustico) si possono calcolare la potenza necessaria per ottenere un certo SPL e l’escursione in tensione dell’amplificatore per ottenere una certa pressione di picco.

È a causa del fattore di cresta che si devono impiegare (in HiFi) amplificatori con potenza anche notevolmente maggiore di quanto basterebbe per riprodurre il dato valore di SPL.

Per esempio:

 

il fattore di cresta di un programma musicale vale 10 (20 dB). Questo significa che il valore di picco è pari a 10 volte il valore RMS.

Supponiamo che l’amplificatore possa garantire 40 Volt di picco sul carico. Il valore RMS che otterremo (con FC=10) sarà di 40/10=4.

4 Volt RMS su 8 ohm equivalgono a 2 Watt continui.

Quindi un amplificatore da 100 Watt, quando il fattore di cresta vale 10, eroga 2 Watt con picchi di 200 Watt (istantanei).

Tra 2 e 200 ci sono 20 dB perché 20 log(10)=20 dB.

Se il diffusore acustico ha una sensibilità di 90 dB (con 2.83Vrms a un metro) con  4 Vrms produrrà 93 dB SPL con picchi di 113 dB.

Con due diffusori in funzione la pressione nel punto di ascolto aumenta di una quantità compresa tra 3 e  6 dB quindi la pressione di picco sale a 116-119 dB.

A questo punto, se il punto di ascolto sta a due metri, la pressione del suono diretto nel punto di ascolto va ridotto di 6 dB (e diventa 110-113) mentre il campo riflesso vale circa 100 dB.

Alla fine, in un ambiente di 20 metri quadri, con due diffusori da 90 dB SPL, un amplificatore da 100 Watt, ed il punto di ascolto a 2 metri si ottiene un campo diretto di 110-113 dB  e un SPL totale (diretto+riflesso) di circa 93dB+100 dB =100.7. Questo quando il Fattore di Cresta del programma musicale vale 10.

Con Fattori di Cresta inferiori si ottengono livelli più alti.

 

Passando  da un Fattore di cresta pari a 10 a 3 il livello SPL aumenta di 9.5 dB.