Valore RMS detto anche valore Efficace

Revisione del 18 giugno 2016

 

Valore Efficace.(di una grandezza misurabile) #1 : detto valore RMS è pari alla radice quadrata della media dei quadrati dei valori assunti da una funzione e quindi da un segnale. L’acronimo RMS significa Root Mean Square (radice della media dei quadrati). Si veda anche Fattore di Cresta.

Va rimarcato che il valore RMS è indipendente dalla particolare forma del segnale nel tempo e quindi dal suo spettro: alimentare un carico (un resistore) con un’onda quadra da 4 Vrms, con un rumore rosa da 4 Vrms o con una sinusoide da 4 Vrms (per lo stesso tempo) produce sempre lo stesso riscaldamento termico ed i tre segnali, dal punto di vista energetico, sono indistinguibili. Questo vale per qualsiasi segnale.

 

La risposta in frequenza di un diffusore acustico non è piatta: alimentare un diffusore acustico con 2.83 Vrms di rumore rosa o 2.83 Vrms sinusoidali non produce la stessa pressione SPL.

Se un rumore rosa, con banda passante di 10 ottave, possiede RMS pari a 0 dB, stringendo la banda a 6 ottave per mantenere lo stesso valore RMS il livello del rumore deve aumentare di 10log(10/6) = 2.2 dB.

Ne segue che la sensibilità del diffusore alimentato con 2.83 Vrms di rumore rosa su 6 ottave (anziché 3 decadi) risulta 2.2 dB più alta.

 

 

Valore Efficace.(di una grandezza misurabile) #2 : sia data una corrente elettrica, variabile nel tempo, che attraversa un carico (per esempio un resistore), il valore efficace di questa corrente è pari all’intensità che dovrebbe avere una corrente continua per produrre la stessa quantità di calore nel resistore (sviluppare la stessa potenza elettrica). Lo stesso concetto vale anche per la tensione. Ad esempio applicando ad un resistore una tensione  di 12 Volt RMS, il riscaldamento che ne deriva è lo stesso che si otterrebbe applicando una tensione continua di 12 Volt. Il valore RMS può essere calcolato per qualsiasi grandezza variabile nel tempo (e la sua interpretazione cambia di conseguenza).

 

 

Definizione di valore RMS per un generico segnale f(t) definito nell'intervallo T1t ≤T2

 

Scrivendola in questo modo si capisce come si sommano i valori RMS.

 

 

Qui viene illustrata la differenza tra il valore RMS di due segnali non correlati  e di due segnali uguali.

I segnali non correlati si sommano in potenza (due segnali con lo stesso RMS producono un incremento d  3  dB). Due segnali uguali che si sommano in ampiezza comportano un incremento di  6 dB.

Il rumore si somma in potenza.

 

Valore RMS di un tono sinusoidale puro:

Per una sinusoide il valore RMS è circa il 70% del valore di picco massimo (-3 dB). Ne segue che il fattore di cresta della sinusoide vale 1.4142….(radice di 2)

 

Per un segnale campionato (una serie di N campioni) il valore RMS si calcola come segue:

  1. il valore di ciascun campione viene elevato al quadrato;
  2. si calcola la media dei valori
  3. si estrae la radice quadrata della media.

Analiticamente, detti x1, x2, ..., xN i valori assunti da ciascuno degli N campioni del segnale si scrive:

Forse qualcuno avrà notato la somiglianza con il Teorema di Pitagora: se le X, sono le coordinate di uno spazio a N dimensioni allora Xrms è la distanza tra il punto P(Xi) e l’origine degli assi cartesiani (diviso per N2).

 

 

Uguaglianza di Parseval

 

con in evidenza la parte reale ed immaginaria delle componenti spettrali

 

 

Scritta l’uguaglianza di Parseval e applicando la definizione di valore RMS si ricava l’espressione del valore RMS in funzione dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di f(t)).

 

Questa è l’espressione corretta. Vedere Fourier

 

Valore Efficace. e Fattore di Cresta : per una sinusoide tutte le grandezze sono note in funzione dell’ampiezza: se il segnale è x(t) = A sin (wt)

 

L’ampiezza di picco = A

Ampiezza picco-picco= 2 A

Valore RMS = 0.707 A

 

Un segnale casuale viene descritto da grandezze statistiche:

 

distribuzione delle ampiezza

valore di picco

valore RMS

fattore di cresta

valore medio

fattore di forma

autocorrelazione

 

Il rapporto tra il valore di picco ed il valore RMS, per una sinusoide,  vale 1.414 (la radice si 2). Il rapporto tra il valore di picco ed il valore RMS si chiama Fattore di Cresta ed è molto utile per farsi una idea dell’andamento nel tempo del segnale.

Se il Fattore di Cresta  è molto alto significa che il segnale presenta picchi molto elevati a fronte di un valore efficace basso. Nel caso del segnale musicale il valore RMS della pressione è proporzionale al livello SPL mentre il valore di picco della pressione è legato alla percezione della “dinamica”.  Il segnale musicale (su CD audio) presenta fattori di cresta che vanno da poco meno di 3 a 30. La differenza di Livello è pari a 20

Noto il fattore di cresta di un segnale musicale e noto il carico (impedenza elettrica del diffusore acustico) si possono calcolare la potenza necessaria per ottenere un certo SPL e l’escursione in tensione dell’amplificatore per ottenere una certa pressione di picco.

È a causa del fattore di cresta che si devono impiegare (in HiFi) amplificatori con potenza anche notevolmente maggiore di quanto basterebbe per riprodurre il dato valore di SPL.

Per esempio:

 

il fattore di cresta di un programma musicale vale 10 (20 dB). Questo significa che il valore di picco è pari a 10 volte il valore RMS.

Supponiamo che l’amplificatore possa garantire 40 Volt di picco sul carico. Il valore RMS che otterremo (con FC=10) sarà di 40/10=4.

4 Volt RMS su 8 ohm equivalgono a 2 Watt continui.

Quindi un amplificatore da 100 Watt, quando il fattore di cresta vale 10, eroga 2 Watt con picchi di 200 Watt (istantanei).

Tra 2 e 200 ci sono 20 dB perché 20 log(10)=20 dB.

Se il diffusore acustico ha una sensibilità di 90 dB (con 2.83Vrms a un metro) con  4 Vrms produrrà 93 dB SPL con picchi di 113 dB.

Con due diffusori in funzione la pressione nel punto di ascolto aumenta di una quantità compresa tra 3 e  6 dB quindi la pressione di picco sale a 116-119 dB.

A questo punto, se il punto di ascolto sta a due metri, la pressione del suono diretto nel punto di ascolto va ridotto di 6 dB (e diventa 110-113) mentre il campo riflesso vale circa 100 dB.

Alla fine, in un ambiente di 20 metri quadri, con due diffusori da 90 dB SPL, un amplificatore da 100 Watt, ed il punto di ascolto a 2 metri si ottiene un campo diretto di 110-113 dB  e un SPL totale (diretto+riflesso) di circa 93dB+100 dB =100.7. Questo quando il Fattore di Cresta del programma musicale vale 10.

Con Fattori di Cresta inferiori si ottengono livelli più alti.

 

Passando  da un Fattore di cresta pari a 10 a 3 il livello SPL aumenta di 9.5 dB.

 

 

 

Valore Efficace RMS, valor medio, valore di picco, picco-picco, Fattore di cresta, ecc.

di Mario Bon

11 giugno 2013

 

Valore Efficace o RMS, valor medio, valore di picco, picco-picco ecc. sono quantità standard molto utilizzate. In particolare il fattore di cresta è fondamentale per dimensionare qualsiasi dispositivo che tratti segnali musicali. Il fattore di cresta caratterizza il segnale nel dominio del tempo e non ha un corrispettivo nel dominio della frequenza (perché dipende dalle relazioni di fase). Altrettanto importante è il significato fisico di Valore RMS che può essere calcolato anche nel domino della frequenza (rappresenta l’energia del segnale).

Una delle cose più difficili è prevedere il fattore di cresta del rumore rosa generato digitalmente. A parte la misura diretta non ci sono short cut.

Molte misure vengono eseguire utilizzando come stimolo il rumore rosa che viene poi analizzato utilizzando banchi di filtri di larghezza percentuale variabile.

 

Consideriamo un rumore rosa con banda passante di tre decadi (20-20kHz). L’analizzatore di spettro a terzi di ottava lo divide in 30 bande di larghezza percentuale costante. Ogni banda contiene la stessa energia quindi se il valore RMS del rumore vale 30 Vrms, all’uscita di ciascun filtro misureremo 1 Vrms. L’energia di ogni singola banda di rumore è 14.77 dB (10log(1/30)) più bassa rispetto al valore RMS complessivo. Ne segue che una singola sinusoide di 30 Vrms  si posiziona 30 dB sopra al livello del rumore rosa (di ampiezza 3 decadi).

Ripetiamo lo stesso ragionamento con un analizzatore a decadi: le decadi sono tre quindi, sempre per 30 Vrms da 20 a 20kHz, ogni decade possiede un terzo dell’energia complessiva è avrà un livello di 10 Vrms (-4.77 dB)

Lo stesso ragionamento va fatto al contrario. Si parte con una sinusoide. Se l’energia della sinusoide viene misurata con ul filtro da un terzo di ottava il livello risulterà 15.23 dB più bassa, Se l’energia viene “spalmata su una ottava questa risulterà 20 dB più bassa…. Se l’energia viene “spalmata su tre decadi il livello sarà 30 dB più basso.

Con l’ analizzatore a n-esimi di ottava, con stimolo rosa di tre decadi, più stretti sono i filtri più il loro livello è basso (perché raccolgono meno energia).

 

L’ osservazione fondamentale è la seguente:

Se stimolo un sistema con una singola sinusoide concentro l’energia su una singola frequenza

Se stimolo lo stesso sistema con 3 decadi di rumore rosa ogni sinusoide che lo compone trasporta una energia mille volte più bassa (-30 dB)

 

Alla luce di ciò la distorsione armonica misurata con una sinusoide sweepata di 4 Volt di ampiezza appare sovrastimata (perché maggiore di ogni singola componente spettrale presente nel rumore rosa da 2.83 Vrma) e sottostimata perché non produce intermodulazione.  Detto per inciso se si volesse mandare 2.83 Vrms su ciascuna banda da un terzo di ottava si dovrebbero applicare al diffusore 2.83 x 30 = 89.4 Vrms pari a 1000 Watt su 8 ohm.

 

Per contro la misura della distorsione va fatta con un segnale il cui spettro approssimi gli spettri del segnale musicale (quindi rumore rosa) le cui componenti presentano energia decrescente come 1/f.

 

Sinusoide

+30 dB

Livello di una sinusoide con lo stesso RMS

Spettro intero 20-20000

0 dB

 

3 decadi

-4.77 dB

Ogni decade

10 Ottave

-10 dB

Ogni ottava

20 mezze ottave

-13 dB

Ogni mezza ottava

30 terzi di ottava

-14.77 dB

Ogni terzo di ottava

60 sesti di ottava

-17.77 dB

Ogni sesto di ottava

120 dodicesimi di ottava

-20.79 dB

Ogni dedicesimo

 

 

Fattore di Cresta (CF = Crest Factor): è il rapporto tra il valore massimo del modulo del segnale (picco assoluto) ed il valore efficace (misurati su un intervallo temporale specificato). E’ un parametro di estrema importanza per dimensionare l’amplificazione e nella progettazione dei diffusori.

Nel Glossario della B&K si legge ”….. Music has a wide crest factor range of  4 10   (or 12 20 dB).” Questa affermazione è plausibile per I dischi in vinile (anche se i riversamenti in digitale di master analogici superano il 12). In realtà i fattori di cresta del segnale musicale presente nei CD Audio vanno da meno di 3 a oltre 28 (quindi si dovrebbe considerare da 3 a 30). Valori superiori si trovano soltanto nella registrazione di singole note suonate da singoli  strumenti registrati in ambiente anecoico. Renato Giussani (http://www.renatogiussani.it/potenza.htm) afferna che : “ …. la potenza media di un segnale musicale è normalmente inferiore di 40 volte a quella di picco…” la potenza media non è la tensione RMS quindi il valore 40 non è un fattore di cresta. Il rapporto tra potenza di picco e potenza RMS è proporzionale al quadrato del fattore di cresta: il 40 di Giussani corrisponderebbe a un CF di 6.3, L’affermazioni di Giussani non significa nulla.-

 

 

Assieme al fattore di cresta (Crest Factor = CF)  deve essere specificato l’intervallo di tempo durante il quale si esegue la misura o il tempo di integrazione dello strumento impiegato per la misura RMS. La  figura mostra due segnali che hanno lo stesso spettro ma andamento temporale molto diverso. La differenza è dovuta alla fase relativa tra le diverse componenti spettrali che sono tutte nulle nel primo caso e casuali nel secondo. Il segnale in alto presenta CF=7.84, quello in basso 2.51. questi vanno considerati segnali diversi.

               

Traccia

Ampiezza di Picco del segnale

Fattore di Cresta (CF) calcolato su tutto il brano

Massimo Fattore di Cresta (CF) calcolato su intervalli di 125 milli Sec.

Murray_10

25519

18.95

3.72

Orf_03
5620
28.85
3.73
Orf_06
27714
22.78
3.11

Orf_11

28941

22.93

3.72

Sonaten_02
18083
24.64
3.31
Sonaten_04
21292
20.85
3.63

Sonaten_09

17690

18.47

2.46

The Firebird Suite
32633
26.28
3.32
SuperTest_12
5536
18.02
2.60
SuperTest_20
26575
24.11
3.29

SuperTest_22

6612

20.71

3.62

Fattore di cresta calcolato per una serie di tracce (ottimamente registrate) estratte da CD Audio. Si noti la differenza tra il CF calcolato sull’intera traccia ed il massimo CF ottenuto su intervalli di 125 millisecondi. Sull’intervallo breve il CF rimane inferiore a 4. Il CF va calcolato sull’intera traccia. La massima ampiezza del segnale registrato su CD vale 32767 (215-1): nessuno dei brani testati raggiunge la massima modulazione consentita quindi non ci sono sovramodulazioni che, quando presenti,  alterano pesantemente i risultati.

 

Analisi Statistica della Distribuzione dell’Ampiezza della traccia “The Firebird Suite” con figura di Lissajous. Si noti che meno di 900 campioni superano il 70% della modulazione relativa per una durata complessiva di circa 20 millisecondi per canale (pari a circa un quinto del tempo di integrazione dell’orecchio). Tali picchi molto brevi sfuggono all’ascolto. L’orecchio, per intervalli inferiori al tempo di integrazione, riceve una sensazione proporzionale all’energia dell’impulso: più è breve e più deve essere intenso.

 

Fattore di Cresta (CF = Crest Factor) #2: in acustica, per valutare l’intensità della sensazione uditiva, viene misurato il Leq (livelllo equivalente), su intervalli di un secondo, con pesatura A. A questa misura i fonometri associano anche la  pressione di picco. Conoscendo valore della pressione di picco e il LeqA non si può ottenere il fattore di cresta perché il LeqA è pesato A. Quindi, per esempio, le misure che fa Calabrese “dal vivo” o con lo stereo non sono paragonabili con quelle che faccio io con la ASDA. In realtà si dovrebbe misurare il livello SPL di tutto il brano (stessa durata della traccia) rilevare il picco massimo di pressione e ottenere il fattore di cresta della riproduzione. Tale valore va confrontato con il fattore di cresta del file WAV.

Il risultato è scontato: il CF del file Wav è maggiore perché manca la riverberazione dell’ambiente e la compressione della catena audio.

 

Fattore di  Cresta per un amplificatore o Headroom:  Noselli cita l’articolo di Julia A. McManus, Chris Evans e Peter W. Mitchell ( alla 95° convention dell’Audio Engineering Society tenutasi a New York nell’ottobre 1993) dove si sostiene,  a seguito di una analisi statistica di brani musicali registrati di musica moderna, che un amplificatore deve essere in grado di sostenere la massima potenza almeno per 200 mS.

Essendo un dato statistico è bene moltiplicare questo valore per 5 o 10 volte. Si arriva così a un secondo.

 

Fattore di  Forma (F): è il rapporto tra il valore RMS ed il valore medio (misurati in un intervallo specificato). Per i segnali periodici a valore medio nullo si valuta su un semiperiodo. Viene utilizzato dai produttori di energia elettrica e nei fattori correttivi degli strumenti di misura.

 

Valore Efficace.(di una grandezza misurabile) #1 : detto valore RMS pari alla radice quadrata della media dei quadrati dei valori assunti da un segnale. L’acronimo RMS significa Root Mean Square (radice della media dei quadrati). Si veda anche Fattore di Cresta.

Va rimarcato che il valore RMS è indipendente dalla particolare forma del segnale nel tempo e quindi dal suo spettro: alimentare un resistore con un’onda quadra da 4 Vrms, con un rumore rosa da 4 Vrms o con una sinusoide da 4 Vrms (per lo stesso tempo) produce sempre lo stesso riscaldamento ed i segnali, dal punto di vista energetico, sono indistinguibili.

 

La risposta in frequenza di un diffusore acustico non è piatta: alimentare un diffusore acustico con 2.83 Vrms di rumore rosa o 2.83 Vrms sinusoidali non produce la stessa pressione SPL.. Si veda la voce distorsione.

Se un rumore rosa con banda passante di 10 ottave possiede RMS pari a 0 dB, stringendo la banda a 6 ottave il valore RMS rimane lo stesso ma il livello del rumore aumenta di 10log(10/6) = 2.2 dB.

Ne segue che la sensibilità del diffusore risulta 2.2 dB più alta.

 

Valore Efficace.(di una grandezza misurabile) #2 : sia data una corrente elettrica, variabile nel tempo, che attraversa un carico (per esempio un resistore), il valore efficace di questa corrente è pari all’intensità che dovrebbe avere una corrente continua per produrre la stessa quantità di calore nel resistore (sviluppare la stessa potenza elettrica). Lo stesso concetto vale anche per la tensione. Ad esempio applicando ad un resistore una tensione  di 12 Volt RMS, il riscaldamento che ne deriva è lo stesso che si otterrebbe applicando una tensione continua di 12 Volt. Il valore RMS può essere calcolato per qualsiasi grandezza variabile nel tempo (e la sua interpretazione cambia di conseguenza).

 

 

Definizione di valore RMS per un generico segnale f(t) definito nell'intervallo T1t ≤T2

 

Scrivendola in questo modo si capisce come si sommano i valori RMS.

 

Valore RMS di un tono sinusoidale puro:

Per una sinusoide il valore RMS è circa il 70% del valore di picco massimo (-3 dB). Ne segue che il fattore di cresta della sinusoide vale 1.4142….(radice di 2)

 

Per un segnale campionato (una serie di N campioni) il valore RMS si calcola come segue:

  1. il valore di ciascun campione viene elevato al quadrato;
  2. si calcola la media dei valori
  3. si estrae la radice quadrata della media.

Analiticamente, detti x1, x2, ..., xN i valori assunti da ciascuno degli N campioni del segnale si scrive:

 

 

Uguaglianza di Parseval

 

con in evidenza la parte reale ed immaginaria delle componenti spettrali

 

 

Scritta l’uguaglianza di Parseval e applicando la definizione di valore RMS si ricava l’espressione del valore RMS in funzione dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di f(t)).

 

Questa è l’espressione corretta. Vedere Fourier

 

 

Valore medio: il valore medio è la media dei valori assunti da un segnale. Il valor medio di una tensione sinusoidale su un periodo è nullo. Il valore medio di un segnale coincide con l’eventuale componente continua (offset).

 

Valore medio per un segnale discreto.

 

N=numero di campioni

N Dt =durata del segnale

Valore medio per un segnale continuo. In assenza di una componente continua è nullo.

Valore medio del modulo, sempre maggiore di zero

 

Valore di picco: il valore di picco (positivo o negativo) è il massimo (minimo) valore raggiunto dal segnale nell’intervallo di tempo considerato. Utilizzato per calcolare il fattore di cresta. Il valore di picco assoluto è il massimo valore raggiunto dal modulo del segnale.

 

Valore picco-picco:

 

misura la massima escursione di un segnale a media nulla tra il valore massimo positivo ed il valore minimo negativo.