Induttanza

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Induttanza: qualsiasi circuito percorso da corrente forma delle spire chiuse che concatenano un campo magnetico e assumono quindi una induttanza.

Un bobina è un avvolgimento formato da più spire avvolte attorno ad un supporto che assume una induttanza che dipende dalla geometria dellavvolgimento stesso, dal numero di spire e dal coefficiente di permeabilità relativa del supporto e dello spazio circostante.

Le spire sono percorse da corrente nello stesso verso e sono soggette a forza repulsiva proporzionale al quadrato della corrente. Questa forza induce una vibrazione meccanica a frequenza doppia rispetto alla frequenza che percorre lavvolgimento. La vibrazione altera le dimensioni dellavvolgimento e quindi la sua induttanza che diventa funzione della corrente che la percorre. Leffetto è la produzione di distorsione di intermodulazione che deve poter essere misurata specie con correnti elevate.

Lo stesso meccanismo produce distorsione nei resistori realizzati con filo avvolto.

Quindi una induttanza produce distorsione attraverso due meccanismi: la vibrazione dellavvolgimento e la non linearità del nucleo (se presente).

Le bobine migliori sono quelle avvolte in aria e annegate in resina, seguono le bobine autocementate sempre avvolte in aria.

 

L'induttanza è la proprietà dei circuiti elettrici tale per cui la corrente che li attraversa induce una forza elettromotrice che, per la legge di Lenz, si oppone alla variazione dell'intensità della corrente stessa.
La grandezza fisica associata, detta anche coefficiente di autoinduzione L del circuito, è il rapporto tra il flusso del campo magnetico concatenato col circuito e la corrente elettrica passante.

Il termine fu utilizzato per la prima volta da Oliver Heaviside nel Febbraio 1886.

 

Definizione

 

Una corrente elettrica i che scorre in un circuito elettrico produce un campo magnetico nello spazio circostante: se la corrente varia nel tempo il flusso magnetico Φ del campo concatenato al circuito risulta variabile, determinando entro il circuito una f.e.m. indotta che si oppone alla variazione del flusso. Il coefficiente di autoinduzione L del circuito è il rapporto tra il flusso del campo magnetico concatenato e la corrente, che nel caso semplice di una spira, è dato da:

L= \frac{\Phi}{i}

L'unità di misura dell'induttanza è detta Henry: 1 H = 1 Wb /1 A, in onore di Joseph Henry.
In un induttore di 1 Henry, quindi, una variazione di corrente di 1 ampere al secondo genera una forza elettromotrice di 1 volt.

 

Proprietà dell'induttanza

 

L'equazione che definisce l'induttanza può essere girata in questo modo:

\Phi = Li \,

Derivando entrambi i membri rispetto al tempo:

\frac{d\Phi}{dt} = L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dt} \,

In molti casi fisici l'induttanza può essere considerata costante (o tempo-invariante), per cui:

\frac{d\Phi}{dt} = L \frac{di}{dt}

Dalla legge di Faraday si ha:

\frac{d\Phi}{dt} = -\mathcal{E} = v

dove \mathcal{E}è la forza elettromotrice (f.e.m.) e v è il potenziale indotto ai morsetti del circuito in questione.

Combinando le equazioni precedenti si ha:

L\frac{di(t)}{dt} = -\mathcal{E} = v(t)

 

da cui si evince che l'induttanza L di un componente attraversato da corrente variabile si può definire operativamente come l'opposto del rapporto tra la f.e.m autoindotta e generata ai morsetti del componente e la derivata della corrente di(t)/dt che lo attraversa.

L'origine del segno meno è una conseguenza della legge di Lenz che applicata a un induttore afferma in sostanza che la f.e.m autoindotta ai capi di un componente si oppone alla variazione di corrente che lo attraversa. Per questo motivo l'induttanza è definita positiva.

 

L'energia immagazzinata in un solenoide può essere espressa per mezzo della sua induttanza caratteristica L e della corrente i che scorre nelle sue spire.

 W = \frac{1}{2}L i^2  dove W è l'energia immagazzinata.

La legge di Ohm esprime la relazione fra la tensione e una corrente stazionaria, mentre quella di Faraday il legame fra tensione e una corrente elettrica variabile.

 

Cenni sull'induttore

 

In termini circuitali, l'induttore è un componente passivo in cui l'aspetto induttivo prevale su quello capacitivo e su quello resistivo. Esso è generalmente costituito dall'avvolgimento di un filo conduttore intorno ad supporto (in aria) o su un nucleo di materiale magnetico (ferrite).  Valori tipici di induttanza vanno dai nanohenry (nH) ai millihenry (mH).

Se un'impedenza di tipo puramente induttivo viene attraversata da una corrente sinusoidale del tipo:

i(t) = I_M \cos(\omega t + \phi_i)\,\!,

dove IM è il valore di corrente massimo, ω è la pulsazione angolare della sinusoide e φi è la fase della corrente, la tensione che comparirà sul ramo dell'impedenza sarà :

v(t)= L {di(t) \over dt} = - L\omega I_M \mathrm{\,sen}(\omega t + \phi_i) = L\omega I_M \cos(\omega t + \phi_i + {\pi \over 2}) .

Nel ramo di un'impedenza completamente induttiva, quindi, le sinusoidi di tensione e corrente risultano sfasate di 90° e, in particolare, la tensione è in anticipo sulla corrente di 90°.

In forma esponenziale la corrente e la tensione si esprimono come:

\mathbf{I}= I_M e^{j \phi_i}

e

 \mathbf{V} = \omega L  I_M  e^{j \phi_i}  e^{j\pi \over 2} = j \omega L I_M e^{j \phi_i} .

Dalla legge di Ohm delle impedenze :

 \mathbf{Z}= {\mathbf{V} \over \mathbf{I}}

si ha che l'impedenza di un induttore puro è:

 \mathbf{Z} = j \omega L ,

dove ω è la pulsazione complessa espressa in radianti al secondo (pari alla frequenza in hertz moltiplicata per 2π), e j è l'unità immaginaria.

Data la relazione costitutiva dell'induttore, la corrente in esso è una funzione continua, mentre la tensione non lo è necessariamente.

In condizioni statiche (corrente continua), l'induttore ideale è equivalente ad un corto circuito.

Date le sue dimensioni, l'induttore è il componente meno facile da integrare, e quindi viene spesso simulato tramite opportuni circuiti attivi (giratore, convertitore d'impedenza generalizzato o GIC).

 

Circuito RL

 

Circuito RL in evoluzione libera

Andamento della corrente circolante in L per il circuito RL in evoluzione libera

 

Si chiama circuito RL in evoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un induttore percorso da corrente. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di tensione o di corrente.

Per trattare questo circuito è conveniente usare i teoremi che riguardano le correnti vista la dualità lineare del comportamento dei circuiti tra la tensione e la corrente. Al tempo t0 = 0 la corrente ai capi di L è iL(0) ≠ 0, questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando la legge di Kirchhoff per le intensità di corrente, l'equazione del circuito è:

i(t) + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \frac{v(t)}{R} + i_L(t) = 0

dove i(t) è la corrente elettrica circolante. Ricordando che la relazione caratteristica dell'induttore è:

v(t) = L \cdot \frac{d i_L(t)}{dt}

la legge di Kirchhoff diventa un'equazione differenziale omogenea del primo ordine:

\frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{R}{L} i_L(t) = 0 {.}

Per la teoria delle equazioni differenziali, la soluzione è:

i_L(t) = i_L(0) \cdot e^{-t R/L}

e di conseguenza la tensione è

v(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot i_L(0) \cdot e^{-t R/L}

Al rapporto \frac{L}{R} = \tau \, \mathrm{[s]}viene dato il nome di costante di tempo del circuito ed una quantità caratteristica costante del circuito.

Fisicamente la quantità di corrente contenuta nell'induttore tramite la relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: tale corrente elettrica si dissipa completamente nella resistenza R secondo la soluzione appena trovata: la corrente tende esponenzialmente a zero per t → ∞. Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

i(\tau) = \frac{1}{e} {.}

 

Circuito RLC

 

In generale, si dice RLC un circuito che contenga solo resistenze (R), induttori (L) e condensatori (C). Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga anche altri elementi passivi, ma nessun elemento attivo.