Condizione Necessaria, Sufficiente, necessaria e sufficiente:

26 novembre 2016

 

Queste condizioni, nel loro insieme, sono dette “condizioni di esistenza”.

Siamo nell’ambito della logica e della analisi matematica. Un teorema è costituito da un enunciato che contiene due proposizioni: l’ipotesi (i presupposti, le condizioni) e la tesi (ciò che si vuole dimostrare) all’enunciato segue la dimostrazione che, procedendo per logica deduzione dalle ipotesi, tenta di dimostrare la tesi. La dimostrazione è quindi un procedimento logico.  (vds teorema)

 

Una condizione si dice necessaria se

in mancanza di essa la tesi non può essere provata

Una condizione si dice sufficiente se

essendo provata, la tesi è provata (ma non è l’unico modo per provarla)

una condizione si dice necessaria e sufficiente

se l’essere provata prova la tesi (ed è unica)

 

Ci possono essere molte condizioni necessarie (che devono essere tutte soddisfatte contemporaneamente), più condizioni sufficienti (e basta che una sia soddisfatta) ma basta una unica condizione “necessaria e sufficiente”.

 

Facciamo degli esempi:

Condizione necessaria per prendere il treno è recarsi alla stazione.

La condizione è certamente necessaria ma non basta (non è sufficiente): se non si sale sul treno non si va da nessuna parte.

Ne segue che condizioni necessarie per prendere il treno sono:

-         recarsi alla stazione

-         salire sul treno

Si noti che la seconda implica la prima ma la prima non implica la seconda.

Ma non basta ancora: si deve arrivare alla stazione prima che il treno sia partito. Quindi le condizioni necessarie per prendere il treno diventano:

-         recarsi alla stazione

-         arrivare prima che il treno parta

-         salire sul treno.

“trovarsi a bordo del treno prima che parta” è la condizione “necessaria e sufficiente” per prendere questo benedetto treno (implica tutte le altre).

 

Quando si dice:

vogliamo stabilire, attraverso un set di misure, se un apparecchio suona bene

in realtà  stiamo dicendo (una di queste):

 

vogliamo definire la condizione necessaria  e sufficiente affinché il 71% della popolazione valuti positivamente la qualità di riproduzione di quel dispositivo

vogliamo definire un set di condizioni sufficienti affinché, essendo una di queste soddisfatta,  il 71% della popolazione valuti positivamente la qualità di riproduzione di quel dispositivo

vogliamo definire un set di condizioni necessarie affinché il 71% della popolazione valuti positivamente la qualità di riproduzione di quel dispositivo

 

Non sempre esiste una unica condizione necessaria e sufficiente (condizione molto forte), a volte è possibile individuare delle condizioni sufficienti (condizioni forti), ma il più delle volte conosciamo solo una serie di condizioni necessarie (che devono essere rispettate tutte contemporaneamente).

La ricerca di una unica condizione “necessaria e sufficiente”, per quanto riguarda i diffusori acustici, è velleitaria. Seguendo Ando le condizioni necessarie difficilmente possono essere meno di quattro. Seguendo Beranek ne servirebbero molte di più. Secondo chi scrive, con riferimento agli attributi del suono, sono almeno una decina.

Nel particolare caso di un amplificatore (preamplificatore, DAC, e in generale dispositivi elettronici con un ingresso e una uscita) è possibile definire una condizione necessaria e sufficiente ma risulta troppo stringente rispetto alle effettive condizioni d’uso.

 

Esempio: Condizione necessaria e sufficiente affinché un dispositivo suoni bene è che Alvin Gold dichiari che suona bene. (Alvin Gold è ritenuto il “più autorevole” recensore di apparecchi HiFi). Questo esempio non è così ironico come sembra: il giudizio soggettivo è molto importante ed esistono effettivamente alcune persone che riescono ad esprimere giudizi attendibili.  Il problema è come stabilire se un apparecchio suona bene quando Alvin Gold non è nei paraggi. Per questo esistono le misure.

 

Ma possiamo essere ancora più radicali e dire che un dispositivo suona bene quando io dico che suona bene. Resta il problema di poter ascoltare tutti gli apparecchi disponibili in tutte le combinazioni possibili. Almeno in questo dovrebbero aiutare le misure.

 

 

Condizione Necessaria e Sufficiente

 

La condizione sufficiente è stata introdotta da Leibniz (che la fa risalire a d Archimede). Ne è stato fatto un uno molto intenso tra il 1880 e il 1920 in relazione ai teoremi di esistenza (condizione sufficiente affinché X esista è che….).

 

La mancanza della definizione di condizione necessaria e sufficiente è il punto debole della Logica anche dopo Crisippo. Aggiungendo la definizione di condizione necessaria e sufficiente la Logica formalizzata da Parmenide coincide con  la logica moderna.

Un teorema è composta da una ipotesi e una tesi, segue quindi la dimostrazione della tesi assunte vere le condizioni esposte nell’ipotesi. L’ipotesi corrisponde alla premessa di Crisippo. La tesi è la affermazione da dimostrare. Tutto deve essere dimostrato: nulla è ovvio

 

Nulla è ovvio: dimostrazione

una affermazione è ovvia se non richiede ulteriori spiegazioni. il concetto di “ovvio” è relativo.

Ciò che è ovvio per un eschimese non lo è per un beduino del deserto sahariano.

Dato che è sempre possibile chiedere: perché è ovvio?  …ne segue che nulla è ovvio.

Se l’interlocutore spiega perché una affermazione è ovvia dimostra che non è ovvia. Se non lo sa spiegare è anche peggio.

Di norma, in mancanza di argomentazioni, si ricorre all’ovvio o al “buon senso”. In questi casi è doveroso chiedere… perché?

 

 

Una condizione si dice necessaria se

In mancanza di essa la tesi non può essere provata

Una condizione si dice sufficiente se

essendo provata, la tesi è provata

(ma non è l’unico modo per provarla)

una condizione si dice necessaria e sufficiente se

l’essere provata prova la tesi e viceversa

(è unica)

 

Ci possono essere:

 

molte condizioni “necessarie”

devono essere tutte soddisfatte

più condizioni “sufficienti”

basta che una sia soddisfatta

una condizione “necessaria e sufficiente”.

è unica se provata prova la tesi (e viceversa)

 

Facciamo degli esempi:

Condizione necessaria per prendere il treno è recarsi alla stazione.

La condizione è certamente necessaria ma non basta (non è sufficiente): se non si sale sul treno non si va da nessuna parte.

Ne segue che condizioni necessarie per prendere il treno sono:

-         recarsi alla stazione

-         salire sul treno

Ma non basta ancora: si deve salire sul treno prima che questo sia partito. Quindi le condizioni necessarie per prendere il treno diventano:

-         recarsi alla stazione

-         arrivare prima che il treno parta

-         salire sul treno.

Se uno è distratto arriva alla stazione, sale sul treno prima che il treno parta ma scende per comprare il giornale e perde il treno. Quindi si dovrebbe aggiungere una quarta condizione.

Queste 4 condizioni possono essere riassunte in una unica condizione necessaria e sufficiente:

“Condizione necessaria e sufficiente per prendere il treno è trovarsi a bordo del treno un attimo prima che questo parta”  (per attimo si può prendere un tempo comunque breve).

 

Non sempre esiste una condizione necessaria e sufficiente (condizione molto forte). A volte è possibile individuare delle condizioni sufficienti (condizioni forti), ma il più delle volte conosciamo solo una lista di condizioni necessarie (che devono essere tutte rispettate).

Si capisce quindi perché ci si sforzi tanto per ottenere delle condizioni necessarie e sufficienti: meno cose da ricordare e garanzia del risultato.

 

Per esercizio:

elencare le condizione per preparare un piatto di spaghetti.

Ne mancherà sicuramente almeno una.