Sistema di numerazione

13 dicembre 2015

 

Il sistema metrico decimale si basa sull’uso di 10 simboli (0123456789) ed è additivo e posizionale.

Posizionale significa che un simbolo prende un valore diverso a seconda della sua posizione all’interno del numero.

Per esempio nel numero 123 il numero 1 sta al terzo posto da destra e va moltiplicato per 100, il numero 2 sta al secondo posto da destra e va moltiplicato per dieci mentre il tre (che sta al primo posto) va moltiplicato per uno.

 

 

in pratica 123 = 1x102  + 2x101  + 3x100  = 1x100 + 2x10 + 3x1

 

Si  noti l’ordine decrescente delle potenze del 10. Questo sistema consente di  esprimere qualsiasi quantità con un numero decente di simboli e consente di fare le somme in modo semplice (disponendo gli addendi in colonna). Dal punto di vista insiemistico i numeri naturali (1,2,3,4,5,6…) costituiscono un gruppoide commutativo. Lo zero, una delle maggiori conquiste della matematica, è l’elemento neutro rispetto alla somma (qualsiasi numero sommato a zero è uguale a sé stesso).

 

Quanto segue è liberamente tratto da  Wikipedia, l'enciclopedia libera (riassunto e rielaborato).

 

L’ uomo non ha sempre avuto la capacità di astrarre e, all’ inizio, non distingueva il numero degli oggetti dagli oggetti stessi.

Poteva distingue un oggetto, una coppia di oggetti (due) ma Tre oggetti venivano classificati come “molti” oggetti. Di questo resta una traccia anche nel linguaggio (inglese, francese, italiano). In francese, in particolare, tres significa anche molti.

 

Il  numero due non esiste in quanto tale ma la coppia di oggetti viene percepita come un oggetto unico. Si dovrebbe dire che l’insieme di cardinale due viene riconosciuto come un unico oggetto.

In sostanza la maggioranza delle popolazioni distingue singolo, coppia, molti.

Le popolazioni primitive conservano una concezione ordinale del numero.

 

Il primo passo verso un sistema di numerazione astratto avviene associando un numero ad una parte del corpo (dita della mano, braccio, testa , l’altro braccio, l’altra mano….fino ai piedi). In questo modo il 7 corrisponde al gomito. Associando la quantità 7 al gomito  non era necessario ricontare partendo dalle dita. La successiva semplificazione è stata quella di contare solo con le mani. Le falangi sono 12, le dita di una mano sono 5 e dieci per due mani. Da qui i sistemi a base 2 (coppie), cinque, dieci, venti, dodici e sessanta. Oggi continuiamo a utilizzare il 12 ed il 60 per il computo del tempo (ore, minuti, secondi) e degli angoli, mentre, per tutto il resto viene utilizzata la base 10 (tranne nel mondo anglosassone la cui evoluzione è ancora in corso di completamento).

Sia l’uomo e che gli animali, senza il supporto dell’astrazione, riescono a contare a malapena fino a 4 o 5. La cosa importante da notare è che, senza l’astrazione,  non si riesce a contare oltre poche unità.

Sia la scrittura che il calcolo, nascono da esigenze commerciali per tenere conto delle merci come descrizione e quantità. L’alfabeto è stato inventato dai Fenici (grandi commercianti) e tutte le culture hanno sviluppato una forma di numerazione più o meno efficace. Poter contare le merci significava poter calcolare il valore e chiedere il prezzo corrispondente. La causa che ha indotto l’uomo a scrivere e a contare è riconducibile al possesso (appartenenza: proprietà primitiva).

 

Il concetto primitivo di insieme veniva utilizzato anche prima di cominciare a contare.

Il conto delle greggi avveniva stabilendo una corrispondenza biunivoca tra ciascun animale ed un oggetto (per esempio ogni capra -> un sasso).

Il pastore faceva passare le pecore una alla volta davanti a sé e, per ciascuna pecora passata, poneva un sasso in un contenitore. Alla sera faceva l’operazione opposta (toglieva un sasso per ogni pecora rientrata). Questo sembra banale ma presuppone la capacità di formare degli insiemi (sassi e capre) e di stabilire relazioni tra insiemi diversi. Presuppone anche la cognizione di uguale e diverso e di maggiore e minore. Oggi le hostess negli aeroporti contano i passeggeri allo stesso modo: invece di mettere un sasso nel cesto premono il bottone su un “conta persone”.

 

La percezione diretta della pluralità di entità identiche e la percezione di coppie, terne… è istintiva. Tradotto nei termini dell’insiemistica: il riconoscimento della cardinalità di ordine due, tre,…. è¨ istintiva.

 

Anche il bambino

Tra i 6 e i 12 mesi

ha una valutazione globale dello spazio, ha una percezione di insiemi di oggetti familiari e si accorge se manca qualcosa.

Tra i 12 e i 18 mesi

distingue tra 1, 2 e "parecchi" oggetti;

Tra i 2 e i 3 anni

concepisce il 3.

Ma questo potrebbe dipendere dal fatto che insegniamo a contare instaurando una corrispondenza tra la quantità, i numeri e le dita della mano.

 

 

 

Gli animali hanno una percezione diretta della pluralità e riconoscono se da un insieme sono stati tolti uno o più elementi. Un cardellino, addestrato a scegliere il proprio cibo da due mucchietti di semi, distingue differenze tra 1,2,3,4 semi ma non tra 4 e 5 semi, 7 e 5 ecc. Gli uccelli distinguono quantità concrete da 1 a 4 ma non oltre. Anche noi non sappiamo fare di meglio: in pratica ricorriamo alla comparazione, allo sdoppiamento, al raggruppamento mentale prima d ricorrere al computo astratto vero e proprio. La risposta a questo comportamento è nella legge di Weber.

L’ astrazione deriva dalla capacità di riconoscere l’isomorfismo tra strutture ovvero dalla capacità di stabilire relazioni.

 

 

il fatto che i Romani e gli Api delle nuove Ebridi contino su base cinque non significa che tale sistema sia stato loro insegnato dagli alieni ma che l’uomo, discendendo da un ceppo comune, possedendo capacità simili e misurandosi con realtà simili (e con gli stessi bisogni primari), ha trovato soluzioni simili seppur in ambienti diversi. Se gli Api avessero avuto 6 dita per mano conterebbero diversamente.

Lo stesso vale anche per la costruzione delle piramidi egizie o maya.

L’altra cosa da notare è¨ che, quando l’uomo evolve verso il razionale, tende ad ottenere  risultati simili, quando invece va verso il trascendente le soluzioni divergono.

Ciò dipende dal fatto che il razionale si confronta con la realtà (che è una sola) mentre il trascendente non si confronta con alcunché (e vale tutto).