Relazione

19 novembre 2015

una relazione è un collegamento, una legge, una regola, un qualche cosa che collega tra loro due o più "enti". Queste "enti" possono essere gli elementi (fisici) appartenenti allo stesso insieme o ad insiemi diversi o strutture o enti astratti.

Essistono tre ipi di relazione:

 

relazioni fisicamente realizzate

Una coda tesa tra due alberi

relazioni fisicamente realizzabili

La relazione madre-figlio di può rappresentare fisicamente con un nastro che lega la madre al figlio

relazioni non fisicamente realizzabili

Per esempio le relazioni matematiche

 

Le relazioni, di qualsiasi tipo, godono delle seguenti proprietà:

 

 A

-A (opposto di A)

Non_A (complementare di A)

Riflessiva

Anti Riflessiva

Non riflessiva

Simmetrica

Anti  Simmetrica

Non simmetrica (asimmetrica)

Transitiva

Antitransitiva

Non Transitiva

Come si vede di ogni proprietà esiste l’opposto ed il complementare. Dato un insiene, l’elemento opposto fa parte dell’insieme e non del suo complementare. L’opposto esiste quando esiste l’elemento neutro.


Le relazioni tra elementi dello stesso insieme sono dette "operazioni".  Le relazioni tra operazioni sono fondamentali negli isomorfismi.

Una relazione può essere univoca o biunivoca e può godere delle seguenti proprietà: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, asimmetrica e transitiva.

Per esempio formiamo un insieme che contenga 100 donne che hanno figli e poi formiamo l'insieme con tutti i loro figli (per semplicità escludiamo le donne con rapporti di parentela e consideriamo che tutti i figli siano vivi ed in buona salute).
Una donna può avere più di un figlio quindi l'insieme dei figli, in linea di principio, è più numeroso dell'insieme delle madri.
Ora prendiamo dei nastri e leghiamo la mano di ciascuna mamma alla mano dei rispettivi figli. Alcune mamme avranno più nastri perché hanno più figli.

Il nastro rappresenta fisicamente la "relazione" tra mamma e figlio.
Dato che ad una mamma possono corrispondere più figli, la relazione madre-figlio è, in generale, "univoca" (uno-molti).

Se prendiamo l'insieme delle mamme che hanno avuto un solo figlio, ciascuna mamma avrà solo un nastro che la "lega" all'unico figlio ed il numero di mamme e di figli risulterà uguale.
In questo caso la relazione è "biunivoca" (uno-uno).

Un'altro esempio di relazione biunivoca è quella tra ciascun cittadino ed il suo codice fiscale. Una relazione biunivoca (senza possibilità di errore) è quella che sussiste tra una persona e le sue impronte digitali.

La relazione tra ciascun cittadino ed il suo nome è univoca perché esistono gli omonimi (cittadini diversi con lo stesso nome).

L'operazione di somma definita sull'insieme dei numeri naturali è un esempio di relazione tra elementi (astratti) dello stesso insieme: la definizione di questa particolare relazione è tale per cui ai numeri 3 e 5 viene associato il numero 8.
3 e 5 sono detti addendi mentre 8 è detto somma. La somma si esegue come segue: si prende il primo addendo (3) e si contano i successivi 5 (4,5,6,7,8) il quinto elemento del conteggio è il risultato dell'operazione (8).
Questa operazione (questa relazione) gode della proprietà commutativa perché scambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia (3+5=5+3).

La proprietà commutativa è rara: normalmente le operazioni NON sono commutative.

La relazione di Causa-Effetto (prima-dopo) non è commutativa (ciò è conseguenza della anisotropia del tempo che va solo avanti).

 

Relazione di equivalenza

 

Visto che abbiamo parlato del Principio di Identità ricordiamo anche la relazione di equivalenza e le sue proprietà.

L’uguaglianza è una relazione di equivalenza e gode delle seguenti proprietà:

 

Riflessiva

 A è uguale ad A

Simmetrica

se A è uguale a B allora B è uguale ad A

Transitiva

se A è uguale a B e B è uguale a C allora A è uguale a C

 

Se A e B soddisfano le tre proprietà  sono uguali altrimenti sono non_uguali (per esempio potrebbero essere “simili” e non “diversi”). Quindi la verifica delle tre proprietà serve a scoprire se due enti sono uguali o non_uguali. La coppia (uguale , non_uguale) è complementare.

 

Per la relazione d’ordine invece (per esempio: essere maggiore o uguale di) devono vale le seguenti proprietà:

 

Riflessiva

 A è maggiore o uguale ad A

anti Simmetrica

se A è maggiore di  B allora B è minore ad A

Transitiva

se A è maggiore a B che è maggiore di C allora A è maggiore di C

 

La relazione d’ordine serve per determinare se A è maggiore o minore di B. Ci sono enti (per esempio i numeri complessi) che non rispettano una relazione d’ordine. La relazione “essere posseduto da…” è una relazione d’ordine.