Spazi Vettoriali lineari – Spazi di Hilbert – Spazi di Funzioni L2

 

Un vettore, nello spazio ordinario a tre dimensioni, è una entità dotata di direzione, verso e intensità. Si rappresenta con una freccia la cui lunghezza è proporzionale all’intensità. Un oggetto del genere è l’ideale per rappresentare una forza perché ne mostra immediatamente le caratteristiche salienti. Un vettore in due dimensione può essere rappresentato, nel piano cartesiano, attraverso le sue componenti (lungo gli assi cartesiani) che si calcolano come segue:

 

componente lungo x

Vx = V cos(alfa)

nel formalismo di Dirac

Vx = <V | x>

componente lungo y

Vy = V sin(alfa)

Vy = <V | y>

 

dove alfa è l’angolo formato dal vettore con l’asse delle ascisse. Quindi il vettore è rappresento dalla coppia ordinata (Vx,Vy). L’operazione che consente di estrarre la componente di un vettore lungo una certa direzione si chiama “prodotto scalare”.

 

I vettori possono essere sommati, moltiplicati per un numero (prodotto per uno scalare) o moltiplicati tra loro (prodotto scalare, prodotto vettoriale). Il prodotto scalare fornisce la componente di un vettore rispetto ad un altro. Esiste anche un terzo tipo di operazione: il prodotto vettoriale. A differenza del prodotto scalare di due vettori (che fornisce come risultato un numero o scalare) il prodotto vettoriale di due vettori dà come risultato un terzo vettore, perpendicolare ai due che lo hanno generato, e orientato nella direzione definita dalla “regola della mano destra”

 

La somma, il prodotto scalare, il prodotto per uno scalare, i versori…. sono ben noti in geometria. Gli spazi vettoriali hanno applicazioni molto più generali. 

 

La figura a sinistra rappresenta un vettore a due dimensioni rappresentato sul piano cartesiano con le sue componenti. Si notino i versori x e y

 

Questa appena vista è la nozione di vettore che abbiamo imparato a scuola (e non è proprio rigorosa).

Più in generale l’insieme dei vettori costituisce uno “spazio vettoriale lineare”. I vettori dello spazio ordinario (spazio Euclide) sono elementi di uno spazio vettoriale lineare a tre dimensioni x,y e z.

Uno spazio vettoriale lineare è una struttura con le proprietà di un gruppo commutativo sulla quale sono definite due ulteriori operazioni: prodotto per uno scalare ed il prodotto scalare. Gli elementi appartenenti allo spazio vettoriale si chiamano vettori indicati dal simbolo |A> (che si legge ket A, simbolo introdotto da Dirac - vedere formalismo di Dirac).  Tutte le operazioni definite nello spazio vettoriale sono chiuse ovvero danno come risultato vettori che appartengono allo stesso spazio. Ne segue che un generico vettore può essere rappresentato da una opportuna combinazione lineare (o sovrapposizione) di vettori e scalari

 

|A>  = a1 |B>  + a2 |C> + ….. an |Z>

 

La proprietà più rilevante dello spazio vettoriale è l’esistenza di un sottoinsieme speciale di vettori una cui opportuna combinazione lineare genera qualsiasi vettore dello spazio. Tali vettori, di modulo unitario, si chiamano versori e costituiscono il sistema di base dello spazio vettoriale. Se i versori sono tra loro mutuamente ortogonali si parla di “sistema di base ortonormale”. Un generico vettore |A> può quindi essere espresso come:

 

|A>  = a1 |E1>  + a2 |E2> + ….. an|En>         Ei = i-esimo versore

 

Il numero di versori che compongono la base dello spazio corrisponde al numero di dimensioni dello spazio stesso. Per generare lo spazio Euclideo a tre dimensioni bastano 3 versori (non complanari e non paralleli meglio se mutuamente ortogonali). Esistono spazi con più di tre dimensioni e anche con un numero infinito di dimensioni.

Fissato il sistema di base, la rappresentazione di un vettore rispetto alla base è unica e, tra il vettore |A> e la ennupla (a1….an) che lo rappresenta, sussiste una corrispondenza biunivoca anzi lo spazio delle ennuple è isomorfo allo spazio vettoriale di partenza. Ne segue che due vettori con la stessa rappresentazione sono lo stesso vettore. Ne segue anche, grazie all’isomorfismo, che è indifferente operare con i vettori o con le ennuple corrispondenti.

 

Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al modulo quadro del vettore: <V|V> = |V|2 (detta anche norma).

 

I segnali fisici osservabili sono rappresentati con Funzioni a Quadrato Sommabile dello spazio L2.

Si dimostra che L2  (spazio delle  Funzioni a Quadrato Sommabile) è uno spazio vettoriale lineare (e le funzioni sono quindi sono vettori). In particolare le FQS formano uno spazio di Hilbert che è uno spazio vettoriale metrico, normato, chiuso e completo rispetto all’operazione di prodotto scalare (Hermitiano). In quanto vettori le FQS hanno tutte le proprietà del vettori dello spazio Euclideo. In particolare ammettono un sistema di base e la componente di un vettore rispetto ad un versore di base si ottiene sempre eseguendo il prodotto scalare (opportunamente definito).

 

Nell’ambito della Teoria dei Segnali l’isomorfismo tra i vettori  ed ennuple  diventa l’isomorfismo tra  la rappresentazione nel “dominio del tempo” e nel “dominio della frequenza”. Quindi le due rappresentazioni sono equivalenti e contengono esattamente le stesse informazioni.

 

Lo spazio dei  vettori e lo spazio delle ennuple che li rappresentano sono isomorfi.

 

Le componenti  ai di una generica FQS |A> si calcolano eseguendo tutti i prodotti scalari <A|Ei> (uno per ogni versore del sistema di base).

 

 |A>  = S |Ei><A|Ei> =  S |Ei > ai = S ai |Ei >

 

Quest’ultima scrittura è identica per una funzione FQS e per un vettore dello spazio Euclideo (il che dimostra la potenza della notazione di Dirac).

Si possono costruire spazi vettoriali con un qualsiasi numero di dimensioni: finito, infinito, discreto e continuo.  Di conseguenza un vettore sarà rappresentato da una ennupla (se il sistema di base è discreto e numerabile limitato o non limitato) o da una funzione (se il sistema di base è continuo). Le componenti del vettore rispetto alla base si ottengono sempre calcolando un numero di prodotti scalari (finito o infinito).

Nell’ambito della teoria unificata dei segnali interessano soltanto gli spazi vettoriali con un numero di dimensioni finito e numerabile.

Si dimostra che  

 

Le FQS sono definite su tutto R

Le FQS sono diverse da zero su un intervallo chiuso

il prodotto scalare è definito dall’integrale (esteso a tutto il dominio) 

 

a = <A|B> = A(t) x B(t) = S A(t)* B(t) dt    (S rappresenta l’integrale, x il prodotto scalare)

Norma al quadrato = <A|A> =|A|2

le funzioni seno e coseno costituiscono una base ortonormale per lo spazio vettoriale delle FQS ergo un generico vettore (un segnale, una funzione FQS) può essere rappresentato dalla combinazione lineare di seni e coseni (discreta, finita, infinita) che origina una ennupla (o una funzione).

Una singola componente si ottiene calcolando il prodotto scalare (usiamo la rappresentazione di Eulero)

 

ai = <e^jw0t|A(t)> = S A(t) (e^-jw0t) dt                     (S sta per il segno di integrale)

 

Al variare di w

 

A(w) = S A(t) (e^-jwt) dt  (*)

 

La (*)  coincide con una trasformazione di Fourier (serie o integrale a seconda del tipo di base dello spazio).

La trasformazione di Fourier è implicita e connaturata degli spazi vettoriali.

 

Dato che una funzione periodica rigorosamente limitata in banda è rappresentata dalla combinazione lineare di un numero finito di seni e coseni (con frequenze discrete) ne segue che, se il numero di dimensioni è finito, è infinitamente derivabile. Ciò esclude la possibilità che un segnale periodico rigorosamente limitato in banda presenti cuspidi o discontinuità ma dice anche che un segnale, che presenta cuspidi o discontinuità, non è rigorosamente limitato in banda. Questa osservazione non è banale perché le cuspidi si generano quando un segnale non è correttamente “finestrato” e questo problema ha condotto all’introduzione delle finestre di pesatura nel tempo (Hanning, Hamming, ….).