Algebra (Teoria degli Insiemi, Matematica)
24 febbraio 2016


Il nome “algebra” deriva dall'arabo ( da "unione", "connessione" o "completamento", ma anche "aggiustare").

 

La Teoria degli Insiemi presuppone una gerarchia che parte dagli oggetti ordinali fino agli isomorfismi (che consentono le simulazioni).

 

Oggetto ordinale (il singolo)

Principi della Logica

Insiemi (collezioni di singoli)

Vedasi la capacità dei sensi di estrarre i contorni

Relazioni

La Logica studia  le relazioni  e come ottenere nuove relazioni da relazioni note.

Strutture (Insiemi di relazioni)

L'Algebra studia le strutture, come riconoscerle e come costruirne di nuove.

Relazioni tra strutture

Omomorfismo

Sistemi

Insiemi su cui è imposta una struttura (insiemi di parti in relazione tra loro)

Relazioni tra sistemi

Isomorfismi

Simulazione

Realizzazione pratica di un isomorfismo

 

Le strutture sono caratterizzate dal numero di operazioni:

 

Gruppi

Struttura con una operazione (monoide)

Anelli

Struttura con due operazioni

Strutture algebriche

Struttura con tre operazioni (spazi vettoriali)

Ecc.

Strutture con 4 operazoni ecc.

 

</OT>Un campo è un anello commutativo dove ogni elemento k è invertibile (per esempio il campo dei numeri razionali). Un campo commutativo si dice corpo (corpo dei numeri reali e corpo dei numeri complessi). Ma questi sono dettagli che interessano prevalentemente i matematici.

La struttura più importante, in Fisica, è lo spazio vettoriale lineare (spazio di Hilbert). Lo spazio più importante, almeno ai fini pratici, è lo spazio L2 delle funzioni a quadrato sommabile.
I segnali fisici (di qualsiasi tipo) sono vettori di L2 ... è impensabile analizzare il contenuto informativo di un segnale senza considerarne la sua natura vettoriale. </OT>

 

Quindi un sistema è un insieme dotato di struttura. Siamo circondati da sistemi. Ogni oggetto ordinale è un sistema (al minimo fatto di atomi). Anche le particelle elementari sono composte di parti (quark) e quindi sono sistemi. Sembra che i quark siano composti da stringhe (quindi sono sistemi anche i quark).

I sistemi espongono delle proprietà dette “proprietà emergenti” perché non sono proprietà degli elementi dell’insieme di supporto ma del sistema visto come oggetto singolo. Per esempio una molecola d’acqua non può far galleggiare una nave, un mare d’acqua acquista questa proprietà.

 

 

Numero Algebrico:

Un numero reale (o complesso) è detto "algebrico" se è radice (soluzione) di un polinomio a coefficienti interi. Per esempio la radice di 2 ( soluzione di x2-2=0)

 

Numero Trascendente:

Un che non  è la radice (soluzione) di un polinomio a coefficienti interi. Per esempio il pi-greco.