Funzionali

17 dicembre 2016

MB

 

I funzionali sono particolari oggetti matematici di largo uso sia nella teoria dei segnali che in Meccanica Quantistica ed in molte altre discipline.

La definizione matematica non è semplice e non la daremo qui dove ne ricorderemo solo alcune proprietà.

I due funzionali più conosciuti ed utilizzati sono la Delta di Dirac e la Funzione di Heaviside (o funzione a gradino).

 

 

La funzione di Heavisede si estende su tutto l’asse reale (da meno infinito a più infinito ) e vale 0 fino ad un certo punto dove assume il valore unitario che mantiene poi per sempre (un gradino). La funzione di Heaviside  non è  “quadrato sommabile”, non appartiene a L2 e non può rappresentare un segnale fisico.

 

La derivata della funzione di Heaviside presenta valore nullo ovunque tranne in un punto (dove avviene la transizione da zero a uno) dove assume valore infinito. Malgrado ciò il suo integrale ha valore finito. La derivata della funzione di Heavyside è la Delta di Dirac.  La Delta di Dirac compare nella Teoria dei Sistemi e nella Teoria dei Segnali.

Lo spettro della funzione di Dirac è bianco e si estende da meno infinito a più infinito.

Lo spettro della funzione di Heaviside si ottiene integrando lo spettro della Delta.

 

Se all’ingresso di un sistema lineare si impone un segnale Delta di Dirac all’uscita di ottine la risposta impulsiva h(t) del sistema. In pratica è sufficiente che lo spettro del seganle applicato non sia bianco ma che sia molto più esteso della banda passante del sistema in esame.

Con gli altoparlanti, per eccitare opportunamente la gamma bassa si preferisce applicare un gradino di tensione (funzione di Heavyside) e quindi derivare l’uscita.

Anche in questo case è sufficiente che il tempo di salita del gradino applicato come ingresso sia molto più rapido del tempo di salita del sistema in esame.

 

Dato che l’energia trasportata dalla Delta + molto scarsa si preferisce eccitare il sistema con un rumore rosa e ricavare H(jw) per deconvoluzione e quindi h(t) antitrasformando secondo Fourier. Questo metodo è sensibile sia alrumore che alla eventuale distorsione non lineare del D.U.T. .

 

 

Componendo opportunamente due funzioni di Heaviside si forma un impulso quadro (non derivabile ma a quadrato sommabile).

 

Componendo più impulsi quadri si ottengono segnali quali l’onda quadra.