Modulo del prodotto di due numeri complessi

 

Siano dati due numeri complessi (a+ib) e (A+iB)

Si dimostra che il modulo del prodotto pari al prodotto dei moduli

Per prima cosa si calcola il prodotto:

 

(a+ib)(A+iB) = aA+iaB+ibA-bB = (aA-bB)+i(bA+aB)

 

il modulo quadro il prodotto di un numero per il suo coniugato

 

|(a+ib)(A+iB) |2 = [(aA-bB)+i(bA+aB)] [(aA-bB)+i(bA+aB)]* =

 

= [(aA-bB)+i(bA+aB)] [(aA-bB)+i(bA+aB)]

 

= (aA-bB)2- (bA+aB)2

 

= (aA)2+(bB)2+(bA)2+(aB)2-2abAB+2abAB = (aA)2+(bB)2+(bA)2+(aB)2 (1)

 

confrontiamo con il prodotto dei moduli:

 

|(a+ib)|2 |(A+iB)|2 = (a2 + b2) (A2 + B2) = (aA)2+(aB)2+(bA)2+(bB)2 (2)

 

confrontando la (1) con la (2) ne viene che

 

|(a+ib)(A+iB)|2 = |(a+ib)|2 |(A+iB)|2

 

Ne segue che anche il modulo del rapporto uguale al rapporto dei moduli.

 

|(a+ib)/(A+iB)|2 = |(a+ib)|2/|(A+iB)|2