Numeri complessi

un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali del tipo (a,b) dove a è detta parte reale e b è detta parte immaginaria. i numeri compelssi nascono per risolvere un problema specifico: ottenere la radice di un numero negativo. Qualsiasi numero, moltiplicato per sè stesso dà, come risultato, un numero positivo. Ne segue che non può esistere, nel campo reale, la radice quadrata di un numero negativo. Per risolvere questo problema è stata introdotta l'unità immaginaria.
L'unità immaginaria, indicata con la lettera i o la lettera j, è la radice quadrata di -1. ne segue i x i = -1. Ne segue anche che la radice quadrata di -2 vale i volte la radice quadrata di 2.

Un numero complesso (a,b) si scrive anche nella forma z = a + i b Il complesso coniugato di z è z* = a - i b (stessa parte reale e parte immaginaria invertita di segno). Il prodotto di z per il suo coniugato vale quanto la somma dei quadrati di a e b ed è detto "modulo quadro" di z (indicato con |z| al quadrato).

I numeri immaginari si possono rappresentare nel piano complesso dove gli assi sono x e iy. I numeri complessi possono essere interpretati come le componenti di un vettore. Del resto le coppieordinate (a,b) sono vettori quindi i numeri complessi costituiscono uno spazio vettoriale lineare a due dimensioni.

nella Relatività lo spazio è quadridimensionale: tre coordinate reali rappresentano le coordinate dello spazio euclideo mentre la quarta dimensione (legata al tempo) è complessa. Questo, tra l'altro, rappresenta convenientemente il fatto che le quattro coordinate non sono tra loro omogee. Infatti lo spazio è omogeneo ed isotropo mentre il tempo è omogeneo ma non è isotropo.

Un punto dello spazio quadridimensionale di chiama "evento". La distanza tra due eventi si calcola con il teorema di Pitagora. Da qui l’importanza del Teoremadi Pitagorail quale consente di calcolare la distanza tra due punti in spazi reali o complessi con un numero qualsiasi di dimensioni.

I numeri complessi sono ampiamente utilizzati in elettronica (Teoria delle Reti, Teoria dei Sistemi e Teoria dei Segnali). Le impedenze sono grandezze complesse. Uno dei "miracoli" della matematica complessa è quello di trasformate (grazie a Fourier) le equazioni differenziali in equazioni ordinarie.

Visto che le quantità complesse esistono ed hanno un significato molto ben preciso nel parlare è opportuno riservate il termine "complesso" alle quantitàdotate di una parte immaginaria e utilizzare il termine “complicato” in tutte le altre situazioni.

 

Numeri complessi

Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati

Quindi non esiste i concetto di maggiore o minore

 

C (campo dei numeri complessi) può essere “interpretato” come uno spazio vettoriale complesso ad una dimensione (come tutti i campi), o come uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. Lo spazio vettoriale dei numeri complessi è normato e completo (spazio di Hilbert).

Formalmente un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali (a,b). Si definiscono quindi somma e prodotto scalare di due numeri complessi nel modo seguente:

 

 ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ), \,

 ( a , b ) ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ). \,

 

Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi è uno spazio vettoriale, che viene indicato con  \mathbb{C}  oppure con C.

 

Il numero complesso (a,0) viene identificato con il numero reale a, mentre il numero (0,1) è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera i. L'elemento (1,0) è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:

 

i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.\,

 

Ogni numero complesso z = (a,b) si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:

 

z =(a,b)=(a,0) + (0,b) = a  + (b,0) (0,1) = a  + b (0,1) = a + bi.\,

 

I numeri a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z. Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto.

Ad esempio:

 (2+4i)(1-i) = 2(1-i)+4i(1-i) = 2-2i+4i-4i^2 = 2+2i-4(-1) = 6+2i. \,

 

Geometria

 

Complesso.png

Nella figura si vede che

 z = x + iy = r (\cos \varphi + i\sin \varphi )

 

essendo  \cos \varphi e  \sin \varphi funzioni trigonometriche.

 

 

Un numero complesso può essere rappresentato da un punto del piano cartesiano, chiamato in questo caso piano di Gauss. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand. Le formule inverse sono:

 

 r = \sqrt{x^2 + y^2}

\varphi = \arctan \frac{y}{x}per x > 0

\varphi = \arctan \frac{y}{x}+\piper x < 0

 

Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere z come

 

 z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}

 

tramite la funzione esponenziale. Qui r è il modulo (o valore assoluto o norma) e  \varphi è l'argomento di z. L'argomento è determinato da z se è inteso nell'intervallo [0,2π], altrimenti è definito solo a meno di somme con 2kπ per qualche intero k.

 

Operazioni con i numeri complessi

 

Modulo

 | z | = \sqrt{x^2 + y^2}\,\!

Il valore assoluto (modulo) ha le proprietà seguenti:

 | z + w | \leq | z | + | w |,\,\!

 | z w | = | z | | w |,\,\!

 | z / w | = | z | / | w | \,\! se  w \neq 0 ,

valide per tutti i numeri complessi z e w.

La prima proprietà è una versione della disuguaglianza triangolare.

 

Distanza

  d(z, w) =|z - w| \,\!

La distanza fra due punti del piano complesso

Modulo della differenza

 

Coniugato

  \bar z = a-ib.

Il complesso coniugato del numero complesso

 z = a + ib 

è anche indicato come z * . Nel piano complesso \bar{z}è ottenuto da z per simmetria rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:

 

\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w},

\overline{zw} = \bar{z}\bar{w},

\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w},

\bar{\bar{z}}=z,

\bar{z}=z \Longleftrightarrow z\in\R,

|z|=|\bar{z}|,

 

           |z|^2 = z\bar{z},

 

 

 

 Inverso

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Conoscendo il valore assoluto ed il coniugato di un numero complesso z \neq 0

 

Ovvero, se z = a + ib otteniamo

 z^{-1} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}.

 

 

 Somma algebrica

 ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ),\,\!

 ( a + ib ) - ( c + id ) = ( a - c ) + i ( b - d ).\,\!

 

La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso

 

Prodotto

 ( a + ib )( c + id ) = ( ac - bd ) + i ( bc + ad )\,\!

Usando la rappresentazione

 z = re^{i\theta} \,\!

e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi

 z_1 = r_1 e^{i \theta_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i \theta_2}\,\!

assume la forma più agevole

z_1\cdot z_2 = r_1 e^{i \theta_1} \cdot r_2 e^{i \theta_2} 
= r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}.

In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.

 

Quest’ultima affermazione consente di dimostrare la Regola dei segni del prodotto: – • – = +. Difatti se si considera che l’argomento di un numero reale negativo è 180º, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l’argomento di un numero reale positivo.

Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento i produce una rotazione di 90°, in senso antiorario, del numero complesso di partenza. Ovviamente la moltiplicazione per i e poi ancora per i produce una rotazione di 180º; ciò è logico visto che i2 = − 1.

 

Rapporto

z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i

 

 {z_1 \over z_2} = {a_1+b_1i \over a_2+b_2i} = {(a_1+b_1i) \over (a_2+b_2i)}{(a_2-b_2i) \over (a_2-b_2i)}= \frac{a_1a_2+b_1b_2+(a_2b_1-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}.

Usando la rappresentazione

 z = re^{i\theta}, \,\!

il rapporto di due numeri complessi è

\frac{r_1 e^{i \theta_1}}
{r_2 e^{i \theta_2}}
= \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)}.

 

 

Potenze

Rappresentando ogni numero complesso come

 z = re^{i\theta} \,\!

è facile descrivere la potenza n-esima

 z^n = r^ne^{ni\theta} \,\!

per ogni n intero. Con una notazione lievemente differente:

z = |z|(cos \theta + i sen \theta )\,\!

Si ottiene la formula di De Moivre:

z^n = |z|^n ( cos(n\theta) + i sen(n\theta) )\,\!

Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente n radici n-esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.

 

Esponenziale

La funzione esponenziale complessa ez è definita facendo uso delle serie e degli strumenti del calcolo infinitesimale, nel modo seguente:

e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.\,\!

In particolare, se z = a + ib si ottiene

e^{a+ib} = e^ae^{ib} = e^a(\cos b + i \sin b)\,\!

facendo uso della relazione di Eulero.

 

Logaritmo

Il logaritmo naturale lnz di un numero complesso z è per definizione un numero complesso w tale che

e^w = z.\,\!

Se

z = a+ib = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\,\!

il logaritmo di z è un qualsiasi numero complesso w del tipo

w = \ln z = \ln (re^{i\theta}) = \ln r + i(\theta +2k\pi)\,\!

dove k è un numero intero qualsiasi. Poiché il valore k è arbitrario, un numero complesso ha una infinità di logaritmi distinti, che differiscono per multipli interi di i.

Se a > 0 si può scrivere

\ln(a+ib)=\ln\sqrt[2]{a^2+b^2}+i\arctan\frac{b}{a}.

In questo caso, se z è reale (cioè se b = 0) fra gli infiniti valori ce n'è uno reale, che corrisponde all'usuale logaritmo di un numero reale positivo.

 

 

 

Esempi

Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che

 4z^2=\bar z^4.

La prima possibilità è quella di porre z = a + ib e di uguagliare la parte reale di 4z2 alla parte reale del coniugato di z4 e analogamente per le rispettive parti immaginarie. Seguendo questa strada si ottengono due equazioni:

 ab(a^2-b^2+2)=0,\,\!

 a^4+b^4-6(ab)^2=4(a^2-b^2).\,\!

da cui si ricavano 7 soluzioni:

 z=0, -2, 2, i\sqrt{3}+1, -i\sqrt{3}+1, i\sqrt{3}-1, -i\sqrt{3}-1.

In alternativa, si può usare la rappresentazione polare

 z = r (\cos \varphi + i\sin \varphi)

e uguagliare le norme e gli argomenti di 4z2 e del coniugato di z4, ottenendo anche qui due equazioni:

  4r^2=r^4,\,\!

  6\varphi=2k\pi.

con k = 0,1,...,5. Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni, per esempio

 z=i\sqrt{3}+1=2e^{i{\pi}/3}.

 

 

 

Applicazioni: Analisi dei segnali

I numeri complessi sono essenziali nell’analisi dei segnali, elettronoca, elettrotecnica, elettroacustica e ovunque siano coinvolte grandezze variabili nel tempo.

Il valore assoluto di |z| è interpretato come la ampiezza del segnale mentre l'argomento di z è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile l'analisi di Fourier, che consente di scomporre un generico segnale nelle sue componenti sinusoidali: ogni sinusoide è scritta nella forma:

 f ( t ) = z e^{j\omega t} \,

dove ω è la pulsazione della sinusoide e z la sua ampiezza.

In elettronica questa scrittura è utilizzata per indicare la tensione e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza.

 

In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano j = -i, cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con j oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j=i