Spazio di Hilbert

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Il matematico David Hilbert.

In matematica uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizzato; il suo ruolo è cruciale nella formalizzazione matematica della meccanica quantistica.

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti da David Hilbert all'inizio del XX secolo, e sono stati così  chiamati da Von Neumann. Grazie agli spazi di Hilbert è possibile formalizzare la teoria delle serie di Fourier e generalizzarla a basi con un numero di elementi arbitrario.

Euristicamente, uno spazio di Hilbert è un insieme con struttura  di spazio vettoriale lineare, su cui è definito un prodotto scalare (in particolare, quindi, è possibile parlare di distanze, angoli, ortogonalità). Lo spazio di Hilbert è completo (non vi sono dei comportamenti patologici nel processo di passaggio al limite).

In meccanica quantistica uno stato fisico è rappresentato da un elemento (vettore o ket) o da una opportuna combinazione lineare di elementi dello spazio di Hilbert. Lo stato fisico contiene informazioni le quali possono essere esplicitate proiettando il ket di stato su un autostato di una osservabile. Tale operazione genera un elemento il quale appartiene ad un nuovo spazio vettoriale di Hilbert (detto duale) e tale elemento è chiamato funzione d'onda.

 

Definizione

Preliminari

Un prodotto scalare definito positivo definisce una norma, che definisce a sua volta una distanza: si dimostrano infatti facilmente i fatti seguenti.

 \|v\|:= \sqrt{\langle v,v\rangle}, per ogni vettore v \in V;

Con questa norma lo spazio ha la struttura di spazio normato.

 \mathrm{d}(u,v):= \|u-v\|per ogni u,\, v \in V.

Secondo la usuale identificazione di uno spazio vettoriale con uno spazio affine costruito prendendo come punti i vettori stessi, si pone come distanza tra due vettori la norma della loro differenza. Nel caso in cui la norma derivi da un prodotto scalare, vale dunque la seguente uguaglianza:

\mathrm{d}(u,v)=\sqrt{\langle u-v,u-v\rangle}.

 

Definizione matematica

Uno spazio di Hilbert è una coppia (H,\langle\cdot,\cdot\rangle)dove H è uno spazio vettoriale reale o complesso[5] e  \langle\cdot,\cdot\rangleè un prodotto scalare (o una forma hermitiana) su H, tale che, detta d la distanza da esso indotta su H, lo spazio metrico (H,d) sia completo.

Altre definizioni

La presenza di un prodotto scalare dà modo di definire in generale alcune nozioni che qui richiamiamo brevemente nell'ambito degli spazi di Hilbert[6].

 \cos{\theta} = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.

 K^\perp = \{v \in H\ | \langle u,v \rangle = 0\ \forall u\in K\} .

In particolare, due vettori u e v si diranno ortogonali se \langle u,v \rangle =0, ossia se l'uno è nel complemento ortogonale dell'altro; inoltre, una famiglia di vettori si dirà ortonormale se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali ed hanno norma 1.

\frac{\langle v,e \rangle}{\langle e,e \rangle}\,e.

Esempi

 

Spazi di Hilbert di dimensione finita

 

\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)

con il prodotto scalare euclideo:

\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_i b_i

è uno spazio di Hilbert reale di dimensione finita n, detto spazio euclideo n-dimensionale.

 

\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)

dotato della forma hermitiana standard

\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} a_i^{*} b_{i}

è uno spazio di Hilbert complesso di dimensione finita n.

 

 

Lo spazio L2

Lo spazio V delle funzioni misurabili f su un aperto  A \subset \mathbb{R}^n, a valori complessi e di quadrato sommabile

V = \left\{f: A \longrightarrow \mathbb{C}\ \Bigg|\ \int_{A}|f(x)|^2dx <\infty \right\}

è uno spazio vettoriale complesso, e la forma

\langle f , g \rangle = \int_{A} f(x)^* g(x) dx

è hermitiana. Tale spazio non è però di Hilbert, poiché la forma hermitiana è solo semi-definita positiva: esistono infatti funzioni f non nulle, ma tali che \langle f , f \rangle è nullo. Ad esempio una funzione che vale 1 su un punto fissato di A, e 0 in tutti gli altri punti di A ha questa proprietà (più in generale, l'integrale di una funzione che vale 0 fuori di un insieme di misura nulla ha integrale nullo).

Per ovviare a questo problema, si definisce lo spazio come quoziente di V tramite la relazione di equivalenza che identifica due funzioni misurabili se differiscono solo su un insieme di misura nulla. La proiezione della forma hermitiana \langle \cdot, \cdot \rangle su questo spazio è definita positiva, e la struttura che ne risulta è uno spazio di Hilbert, che viene indicato con  L^2(A,\mathbb C).

 

Gli elementi di L2 non sono, in generale, funzioni continue. Tuttavia i segnali fisici lo sono sempre e comunque lo sono le rappresentazioni che ne dà l’analizzatore di Spettro

 

 

Prime proprietà degli spazi di Hilbert

Le proprietà seguenti, valide per gli spazi euclidei, si estendono anche agli spazi di Hilbert.

|\left \langle v, w \right \rangle|^2 \le \left \langle v, v \right \rangle \left \langle w, w \right \rangle

\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 \| v \|^2 + 2 \| w \|^2

\| \sum_{k=1}^{\infty} v_k \|^2 =  \sum_{k=1}^{\infty} \| v_k \|^2

\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} \left( ||v+ w||^2 - ||v-w||^2 - i (|| v + i w||^2 - ||v - i w||^2) \right)

\langle v ,v\rangle = \|v\|^2 \ge \sum_{k=1}^{\infty} | \langle v , e_k \rangle |^2.

 

Spazi di Hilbert separabili

Ricordiamo che uno spazio topologico è detto separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile. Gli spazi di Hilbert finito dimensionali sono sempre separabili. Nel caso infinito dimensionale, invece, ci sono sia esempi di spazi separabili che non separabili. I primi sono di grande interesse nelle applicazioni, e su di essi si è costruita una teoria piuttosto ricca. Potremmo dire che, tra gli spazi infinito dimensionali, gli spazi di Hilbert separabili sono quelli che più assomigliano agli spazi finito dimensionali, e sono pertanto più facili da studiare.

 

Proprietà di base

Uno spazio di Hilbert H è separabile se e solo se ha una base ortonormale S di cardinalità finita o numerabile. Se S ha N elementi allora H è isomorfo a \R^n oppure \mathbb C^n . Se S ha un'infinita numerabile di elementi allora H è isomorfo allo spazio l2 descritto sopra.

Una base ortonormale è ottenuta applicando l'algoritmo di Gram-Schmidt ad un insieme denso numerabile. Viceversa, il sottospazio generato da una base ortonormale è un insieme denso nello spazio di Hilbert.

In conclusione, in uno spazio di Hilbert provvisto di una base hilbertiana {ei} numerabile è possibile esprimere ogni vettore, norma o prodotto scalare come somma di una serie convergente:

v=\sum_{i = 1}^\infty \langle v,e_i\rangle e_i,

\|v\|^2=\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle |^2,

\langle v,w \rangle = \sum_{i = 1}^\infty \langle v,e_i \rangle \langle e_i,w \rangle e_i.

Bibliografia

 

Note

  1. ^ Per un'introduzione storica più dettagliata al contesto intellettuale in cui sono nate le idee che hanno dato vita allo studio degli spazi di Hilbert, si veda Boyer History of Mathematics cap. 27 e 28.
  2. ^ von Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren.
  3. ^ Nell'approccio di von Neumann, la meccanica quantistica viene studiata mediante C*-algebre. Tuttavia ogni C*-algebra è una sottoalgebra dell'algebra degli operatori limitati su di uno spazio di Hilbert. Di qui l'importanza di tali spazi in questo contesto. È interessante notare che questo approccio alla meccanica quantistica è stato iniziato da von Neumann proprio insieme ad Hilbert.
  4. ^ Dopo Von Neumann, uno dei primi usi documentati del nome spazio di Hilbert si trova in Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics.
  5. ^ Per semplicità, omettiamo nella definizione la presenza delle operazioni di somma e moltiplicazione per scalari proprie di uno spazio vettoriale, ed identifichiamo H con l'insieme stesso su cui lo spazio vettoriale è costruito. Si veda la voce spazio vettoriale per ulteriori chiarimenti.
  6. ^ Nella voce prodotto scalare questi concetti sono trattati più approfonditamente.