Verifica del calcolo della Potenza acustica e dell’SPL in funzione dello spostamento volumetrico

di Mario Bon

 

Attenzione Beranek usa la tensione i picco e definisce la potenza come e2/(2R). Se e rappresenta la tensione di picco allora la potenza elettrica di Beranek corrisponde alla potenza elettrica effettiva. Ma siccome tutti usano la tensione RMS ne segue che viene calcolato un rendimento doppio (perché si dimezza la potenza in ingresso).

 

A pag. 106 del n. 341 di Audio Review è riportata una espressione per il calcolo dell’ SPL prodotto da un woofer ad una certa frequenza in funzione dello spostamento volumetrico.

Tale calcolo è valido alle basse frequenze ovvero dove la massa di radiazione è costante quindi per ka<1 e comunque al di sotto dl primo break up della membrana. Viene trascurata sia l’impedenza del generatote (presupponendo fattore di smorzamento infinito) che l’induttanza della bobina mobile.

 

SPL = 20 log (p2 ro Xp f2 D2 / (2.828 Pref))

Espressione di partenza

SPL = 106.49+20 log ( Xp f2 D2 )

Calcolo delle costanti

SPL = 106.49+20 log ( Xp f2 SD  4 / p)

Evidenzio SD

SPL = 106.49+20 log ( Xp f2 SD)+20 log ( 4 / p)

Separo le costanti

SPL = 106.49+  2.098 + 20 log ( Xp f2 SD)

Calcolo log

SPL = 108.59+  20 log ( Xp f2 SD)

Espressione finale Audio Review

 

L’uso di Xp (spostamento di picco) è giustificato dal fatto che questo è il valore (o il valore picco-picco che vale il doppio) che generalmente si trova nei data sheet degli altoparlanti.

 

Qui di seguito vengono esaminate tre espressioni ottenute da tre sorgenti diverse: Beranek, Ballon, e Heyda (del 1945). In più vengono utilizzati dei dati forniti da Philips ELCOMA e da Audio Pro per il riscontro numerico.

 

Espressione di Ballon (valida per un woofer su schermo infinito a bassa frequenza):

Wrms indica la potenza continua

 

Wrms = Sd2  vp2 (ro c k2)/ (4 p)  [*]

 

Nota c’è un fattore 2 di differenza con Beranek perché Ballon usa l’ampiezza della velocità e non la velocità rms:

vp=0.707 velox

 

Wrms = Sd2  velox2 (ro c k2)/ (2 p) 

k = w/c  ro=densità dell’aria    roc=413

x= Xmax cos (wt)

vp = ampiezza della velocità

velox è la velocità efficace rms

velox = w Xrms (-sin (wt))

c=344ms ro=1.2

velox=wXrms (cinematica)

Wrms = Sd2  ( w Xrms)2 (ro c (w/c)2)/ (2 p)

raccolgo w, semplifico c

Wrms = Sd2  w4 Xrms2  ro  / (2 p c)

SV = Sd Xmax  spostamento volumetrico

Wrms = (Sd Xrms)2  w4 Xrms2  ro  / (2 p c)

Sd Xrms = SVrms spostamento volumetrico

Wrms = SVrms2  (2 p )4 f4   ro  / (2 p c)

 

Wrms = (8 p3 ro /  c) SVrms2  f4   

raccolgo e calcolo le costanti

Wrms = 0.8717 (SVrms  f2)2

(8 p3 ro /  c) = 0.8717  per ro=1.2 c=344

Da potenza a SPL (calcolo di Lw)

Lw = 10log (Wrms /Wrif) = 10log(0.8717  SVrms2 f4 ) + 120

Lw = 10log( SVrms2 f4 ) + 120 + 10log(0.8717)

Lw = 10log(SVrms2 f4 ) + 120  – 0.59

Lw = 10log(SVrms2 f4 ) + 119.41

divido per Wrif e passo al logartimo a destra e sinistra

sistemo le costanti

          

SPL = Lw + 10 log(Lw + DI - 10 log(4 p)Q/(4 p r))

SPL = Lw  - 10 log(4 p)

In campo libero a 1 metro r=1. DI è già stato conteggiato (3 dB) quindi si toglie

SPL = 10log(SVrms2 f4 ) + 119.4 – 10.99

SPL = 10log(SVrms2 f4 ) + 108.42

SPL = Lw – 10.8          

SPL = 10log(SVrms2 f4 )+ 108.42

 

SPL = 108.42+20 log (  f2  SVpicco  )

 

Espressione della potenza acustica emessa a bassa frequenza da un pistone rigido su schermo infinito in campo lontano derivata dall’ Handbook for sound Engineers – terza edizione - di Glen M. Ballon

[*] = espressione 17-13 a pag 526

 

 

Secondo Beranek (Acoustics, pag 188 eq 7.5)

Wrms =  vp2  2RMR = potenza emessa da entrambe i lati del pistone su parete infinita

quindi per un solo lato si deve dividere per due: vp2/2=velox

Wrms =  velox2  RMR

 

Wrms =  velox2  RMR

(espressione 7-9 a pag 189 Beranek)

 

queste espressioni sono valide nella regione compresa tra la frequenza di risonanza e ka<1

 

 

per pistone su mezzo spazio

k = w/c  ro=densità dell’aria    roc=406

 

x(t) = 1.414 Xrms cos (wt)

v(t) = 1.414 w Xrms (-sin (wt))

 

velox = w Xrms

RMR = w2 SD2 ro /(2 p c)  (Beranek 7.9 pag 189)

verifica anche con A.D. Pierce  

Wrms = velox2 (w2 SD2 ro /(2 p c))  

Sostituisco RMR

Wrms = Xrms2  w2  w2 SD2 ro /(2 p c)  

w=2 p f

Wrms = Xrms 2 w4 SD2 ro /(2 p c)  

 

Wrms = Xrms 2 16 (p f)4 SD2 ro /(2 p c)   [***]

semplificato  e sostituisco  SVrms = Xrms SD  

Wrms = (8 p3 ro /  c)   SVrms2  f4   

raccolgo e calcolo le costanti

Wrms = 0.8652 ( SVrms  f2 )2  

 

Da potenza a SPL 

Lw = 10 log (W/Wrif) = 10log(0. 8652 SVp2 f4  ) + 120

Lw = 10log( SVp2 f4  ) + 120 + 10log(0. 8652)

Lw = 10log( SVp2 f4  ) + 120  – .0.6288

Lw = 10log( SVp2 f4  ) + 119.37

divido per Wrif e passo al logaritmo a destra e sinistra

sistemo le costanti

          

SPL = 10log( SVp2 f4  ) + 119.37  – 10.99

SPL = 10log( SVp2 f4  ) + 108.38

SPL = Lw – 10.99          

SPL = 108.38+20 log (  f2  Svpicco  )  circa

SPL in funzione dello spostamento volumetrico di picco

Espressione della potenza acustica emessa a bassa frequenza da un pistone rigido su schermo infinito in campo lontano derivata dal Beranek. 

 

 

 Espressione della Potenza secondo Heyda (1945):

 

 

Wrms = Xrms 2 16 (p f)4 SD2 ro /(2 p c)  

Espressione [***]

Wrms = SVrms 2 16 p4 f4  ro /(2 p c)  

Esplicito rispetto allo spostamento volumetrico

SVrms  =  sqr[( Wrms 2 p c) / (16 p4  ro f4 )]

Sqr = radice quadrata

SVrms  = sqr[ c / (16 p4  ro) ]  sqr[ Wrms 2 p  ] /f2

 

SVrms  = 0.4273 sqr[( Wrms 2 p ) ] /f2

Moltiplico a destra e a sinistra per 1.414

SVp  = 0.604 sqr[( Wrms 2 p ) ] /f2

 

Spostamento volumetrico di picco

Che corrisponde alla espressione di Heyda per un angolo di 2 p  (Q=2)

Questa è in unità MKSA

Partendo dalla espressione [***] (Beranek) si ottiene anche l’espressione fornita da Heyda (1945)

Il valore della costante differisce a causa dei diversi valori assunti per la densità dell’aria e la velocità del suono. La differenza è dello 0.66% (0.055 dB)

 

 

Dati  Philips ELCOMA e Audio Pro:

 

 

spostamento volumetrico e frequenza tali da ottenere 1 Watt e 109.2 dB SPL su mezzo spazio

(dati Philips ELCOMA) in questo caso Sv è il calore RMS quindi vanno tolti 3 dB

SV =  0.152372 litri a 100 Hz

105.59 + 20 log(10000 x 0.152372/1000) = 109.24

SV =   0.431242 litri a   60 Hz

105.59 + 20 log(3600 x 0.431242/1000) = 109.41)

SV =   1.693        litri a   30 Hz

105.59 + 20 log(900 x 1.693/1000) = 109.24

 

Dai depliant pubblicitari della Audio Pro (sub woofer B4-200)

 SV =   6 litri a 20 Hz -> 1 Watt e 113. dB SPL su mezzo spazio. (verificato)

 SV =   6 litri a 30 Hz -> 1 Watt e 120. dB SPL su mezzo spazio. (verificato)

Anche questi sono verificati dalla espressione  SPL = 105.59+20 log (  f2  Sv  )